Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 2 — Matrizen und Vektoren im R n und C n
Beispiele 2.13: Für die Matrizen
( ) ( 1 2 3 4
1.2 + 3.4 i 5.6 − 7.8 i
A =
, C =
5 6 7 8
8.7 + 6.5 i 4.3 − 2.1 i
ist
A T =
⎛
⎜
⎝
1 5
2 6
3 7
4 8
⎞
⎟
⎠ , CH =
( 1.2 − 3.4 i 8.7 − 6.5 i
5.6 + 7.8 i 4.3 + 2.1 i
Weiter ist zum Beispiel allgemein die Transponierte einer unteren Dreiecksmatrix
eine obere Dreiecksmatrix. Und es gilt natürlich: Die Transponierte
eines Kolonnenvektors ist ein Zeilenvektor — und umgekehrt.
Dies wird oft ausgenützt, um Kolonnenvektoren Platz sparend aufzuschreiben:
)
)
.
x = ( x 1 x 2 . . . x n
) T =
(
1 3 5 3 5 3 1
) T .
Definition: Eine Matrix A heisst symmetrisch [symmetric],
falls
A T = A , d.h. (A) ij = (A) ji (∀i, j) .
Eine Matrix A heisst Hermitesch [Hermitian], falls
A H = A , d.h. (A) ij = (A) ji (∀i, j) .
Beispiele 2.14: Die Matrizen
⎛
2 3
⎞
−5
⎛
B = ⎝ 3 −1 2 ⎠ , E = ⎝
−5 2 7
1 2 + 3 i 4 + 5 i
2 − 3 i 6 7 + 8 i
4 − 5 i 7 − 8 i 9
⎞
⎠
sind (reell) symmetrisch bzw. (komplex) Hermitesch.
Man beachte, dass die Diagonalelemente einer Hermiteschen Matrix
reell sind. Ferner ist eine reelle Hermitesche Matrix natürlich symmetrisch.
Die Menge der Hermiteschen Matrizen enthält also als
Teilmenge die reellen symmetrischen Matrizen. Meist denkt man
aber an komplexe Matrizen, wenn man von Hermiteschen Matrizen
spricht.
Es gibt auch komplexe symmetrische Matrizen, das heisst komplexe
Matrizen mit A T = A. Solche kommen z.B. in der Elektrotechnik
und in der Teilchenphysik vor.
Beispiel 2.15:
Die Matrix
⎛
8 + 5 i 1 + 2 i 6 i
⎞
⎝ 1 + 2 i 7 + 6 i 2 + 3 i ⎠
6 i 2 + 3 i 4
ist komplex symmetrisch. Die Diagonalelemente brauchen nicht reell zu
sein.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 2-13