Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 1 — Lineare Gleichungssysteme
bedingungen immer erfüllt.
Der erste Teil von Satz 1.1 ist im Falle b = o trivial, und der zweite
Teil kann so umformuliert werden:
Korollar 1.5 Ein homogenes Gleichungssystem hat genau dann
nichttriviale Lösungen, wenn r < n ist. Falls letzteres zutrifft, gibt
es eine (n − r)–parametrige Lösungsschar.
Insbesondere hat ein homogenes System mit m < n, d.h. mit mehr
Unbekannten als Gleichungen, stets eine mindestens (n−m)–parametrige
Schar nichttrivialer Lösungen.
Aus den Teilen (ii) und (iii) von Korollar 1.3 können wir weiter folgern,
dass ein Zusammenhang besteht zwischen der Lösungsmenge
eines inhomogenen linearen n × n Gleichungsystems und jener des
zugehörigen homogenen Systems, das dieselbe Koeffizientenmatrix
besitzt:
Korollar 1.6 Ein quadratisches lineares Gleichungssystem (mit
m = n) ist genau dann für beliebige rechte Seiten lösbar, wenn das
zugehörige homogene System nur die triviale Lösung besitzt.
Beweis: Beide Bedingungen sind äquivalent zu r = n = m.
Fassen wir zum Schluss noch einige Fakten über quadratische lineare
Systeme zusammen:
Korollar 1.7 Für ein quadratisches lineares Gleichungssystem
Ax = b von n Gleichungen in n Unbekannten gelten entweder
die vier äquivalenten Aussagen
(i) r :≡ Rang A = n (d.h. A ist regulär),
(ii) für jedes b gibt es (mindestens) eine Lösung,
(iii) für jedes b gibt es genau eine Lösung,
(iv) das entsprechende homogene System hat nur die triviale
Lösung,
oder es gelten die fünf ebenfalls äquivalenten Aussagen
(v) r :≡ Rang A < n (d.h. A ist singulär),
(vi) für gewisse b gibt es keine Lösung,
(vii) für kein b gibt es eine eindeutige Lösung,
(viii) für gewisse b gibt es unendlich viele Lösungen,
(ix) das entsprechende homogene System hat nichttriviale
Lösungen.
Wir werden in Kapitel 3 auf die Gauss-Elimination zurückkommen
und sie neu interpretieren als Matrixzerlegung.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 1-19