Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 2 — Matrizen und Vektoren im R n und C n
‖x‖ 2 = 9, ‖y‖ 2 = 289, 〈x, y〉 = 38. Also lautet die quadrierte Schwarzsche
Ungleichung hier 1444 = 38 2 ≤ 9 · 289 = 2601 und die Schwarzsche
Ungleichung selbst ist 38 ≤ 3 · 17 = 51.
Grundlegende Eigenschaften der Norm sind die folgenden:
Satz 2.12 Für die 2–Norm (2.49) im E n gilt:
(N1) Sie ist positiv definit:
‖x‖ ≥ 0 für alle x ∈ E n ,
‖x‖ = 0 =⇒ x = o .
(N2) Sie ist dem Betrage nach homogen:
‖α x‖ = |α| ‖x‖ für alle x ∈ E n , α ∈ E .
(N3) Die Dreiecksungleichung [triangle inequality] gilt:
‖x ± y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖ für alle x, y ∈ E n .
Beweis: (N1) und (N2) folgen leicht aus den entsprechenden Eigenschaften
des Skalarproduktes. Um (N3) zu beweisen, schätzen wir in
‖x ± y‖ 2 = 〈x ± y, x ± y〉 = 〈x, x〉 ± 2 〈x, y〉 + 〈y, y〉
den gemischten Term 〈x, y〉 mittels der Schwarzschen Ungleichung (2.52)
ab durch 2 ‖x‖ ‖y‖
‖x ± y‖ 2 ≤ ‖x‖ 2 + 2 ‖x‖ ‖y‖ + ‖y‖ 2
= ( ‖x‖ + ‖y‖ ) 2 .
Schreibt man im Zähler der Formel (2.45) für cos ϕ die Quadrate
der Normen als Skalarprodukte und wendet man die Rechenregeln
aus Satz 2.9 an, so kann man nun allgemein im R n und C n diesen
Zähler durch ein einziges Skalarprodukt ausdrücken (wie wir das in
(2.46) im Spezialfall des R 2 gemacht haben):
‖x‖ 2 + ‖y‖ 2 − ‖y − x‖ 2
= ‖x‖ 2 + ‖y‖ 2 − 〈y − x, y − x〉
= ‖x‖ 2 + ‖y‖ 2 − 〈y, y〉 + 〈y, x〉 + 〈x, y〉 − 〈x, x〉
= 2 Re 〈x, y〉 .
Also ist
ϕ = arccos
Re 〈x, y〉
‖x‖‖y‖ . (2.56)
Im reellen Fall entfällt natürlich der Realteil:
ϕ = arccos
〈x, y〉
‖x‖‖y‖ . (2.57)
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 2-21