Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 2 — Matrizen und Vektoren im R n und C n Lineare Algebra (2007)
Der Beweis für das zweite Distributivgesetz (2.14) verläuft natürlich
genau analog.
Bemerkungen:
1) Mehrere der Aussagen von Satz 2.1 bedeuten, dass man im entsprechenden
Ausdruck auf die Klammern verzichten kann, z.B. in
A(BC) = ABC. Weitere fallen weg, weil wir vereinbaren, dass (wie
in R und C) die skalare und die Matrizen-Multiplikation stärker binden
als die Addition. Es ist also etwa (AB) + (CD) = AB + CD.
2) Die Matrizen-Multiplikation ist (selbst für quadratische Matrizen
gleicher Ordnung) nicht kommutativ, d.h. im allgemeinen gilt
AB ≠ BA . (2.15)
Gilt für zwei Matrizen A und B, dass AB = BA, so sagt man,
dass diese Matrizen kommutieren [commute].
Beispiel 2.10: Für die drei Matrizen
( ) ( 2 6
−3 −1
A = , B =
1 7
2 1
gilt
Es ist also
( 6 4
AB =
11 6
( 36 132
AC =
22 146
) ( 15 6
, C =
1 20
)
( −7 −25
, BA =
5 19
)
, CA =
( 36 132
22 146
AB ≠ BA , AC = CA .
)
,
)
.
)
3) Für jede m × n–Matrix A gilt dagegen I m A = A = AI n . Die
Einheitsmatrix kommutiert also mit jeder quadratischen Matrix der
gleichen Ordnung.
Drei weitere wichtige, einfache Eigenschaften der Matrixaddition
sind die folgenden. Sie ergeben sich wiederum direkt aus den entsprechenden
Eigenschaften der reellen und komplexen Zahlen.
Satz 2.2 (i) Es gibt eine m × n–Nullmatrix O definiert durch
(O) ij :≡ 0 (∀i, j), so dass für jede m × n–Matrix A gilt
A + O = O + A = A . (2.16)
(ii) Zu jeder m × n–Matrix A gibt es eine m × n–Matrix −A
definiert durch (−A) ij :≡ −(A) ij (∀i, j), so dass
A + (−A) = (−A) + A = O . (2.17)
(iii) Zu zwei m × n–Matrizen A und B gibt es eine m × n–Matrix
X definiert durch (X) ij :≡ (B) ij − (A) ij (∀i, j), so dass
A + X = B . (2.18)
LA-Skript 2-8 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht