Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 3 — LR–Zerlegung
3.2 Die Gauss-Elimination als LR–Zerlegung:
der allgemeine Fall
Im allgemeinen Falle der Reduktion irgend einer m × n–Matrix auf
Zeilenstufenform ist R von der Form in (1.28), das heisst
⎛
0 · · · r 1,n1 · · · ∗ · · · · · · ∗ ∗ · · ·
⎞
∗
0 · · · 0 · · · r 2,n2 · · · · · · ∗ ∗ · · · ∗
. . . . . .
. . .
R =
0 · · · 0 · · · 0 · · · r r,nr ∗ · · · ∗
,
0 · · · 0 · · · 0 · · · · · · 0 0 · · · 0
⎜
⎟
⎝ . . .
. . . ⎠
0 · · · 0 · · · 0 · · · · · · 0 0 · · · 0
(3.28)
wobei die eingezeichneten Pivotelemente r 1,n1 , r 2,n2 , . . . , r r,nr nicht
null sind und wir jetzt auch noch die möglichen Null-Kolonnen am
linken Rand eingetragen haben.
Die Formeln (3.1)–(3.5) für den j-ten Eliminationsschritt sind nun
zu ersetzen durch
r ji :≡ a (j−1)
ji (i = n j + 1, . . . , n) , (3.29)
c j
:≡ b (j−1)
j , (3.30)
l kj := a (j−1)
k,n j
/r j,nj (k = j + 1, . . . n), (3.31)
a (j)
ki
b (j)
k
:= a (j−1)
ki
− l kj r ji , (i = n j + 1, . . . , n ,
k = j + 1, . . . n), (3.32)
:= b (j−1)
k
− l kj c j (k = j + 1, . . . n) . (3.33)
In (3.29), (3.30) und (3.33) gibt es keine Änderung, in den anderen
Formeln ist zum Teil der Kolonnenindex j durch n j ersetzt worden.
Die Multiplikatoren l kj passen in die m × m–Linksdreiecksmatrix
⎛
⎞
1 0 · · · 0 0 · · · 0 0
. l 21 1 .. . . . .
. . . . . 0 . . .
l r1 l r2 · · · 1 0 · · · 0 0
L =
. l r+1,1 l r+1,2 . . . l r+1,r 1 . (3.34)
. . .
. . . 0
.. . 0 .
⎜
⎝
.
⎟
. . . . .. 1 0 ⎠
l m1 l m2 · · · l mr 0 · · · 0 1
mit
l kj :≡ 0 (1 ≤ k < j ≤ m) , (3.35)
l kj :≡ 0 (r < j < k ≤ m) , (3.36)
l jj :≡ 1 (1 ≤ k < j ≤ m) . (3.37)
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 3-9