Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 3 — LR–Zerlegung Lineare Algebra (2007)
wobei im Term O(n) alle Beiträge untergebracht sind, die linear in
n oder konstant sind. Der ln–Term fällt hier weg; bei der Addition
ist er negativ. Für l = 0 erhalten wir den Rechenaufwand für die
reine LR–Zerlegung. Wir können das so zusammenfassen:
Satz 3.2 Der Rechenaufwand für die LR–Zerlegung einer voll
besetzten, regulären n × n-Matrix beträgt n Divisionen (inklusive
der letzten, die man erst beim Rückwärtseinsetzen braucht),
1
3 n3 + O(n) Multiplikationen und 1 3 n3 − 1 2 n2 + O(n) Additionen.
Für Vor- und Rückwärtseinsetzen braucht man zusätzlich pro rechte
Seite je n 2 − n Additionen und n 2 Multiplikationen.
Das Lösen eines Systems AX = B mit n rechten Seiten erfordert
dementsprechend n Divisionen, 4 3 n3 + O(n) Multiplikationen und
4
3 n3 − 3 2 n2 + O(n) Additionen.
Der zweite Teil des Satzes gibt im wesentlichen auch den Aufwand
für die Berechnung der Inversen an, wobei man allerdings in diesem
Falle (wo B = I ist), noch beim Vorwärtseinsetzen Operationen
sparen kann, weil die rechten Seiten viele Nullen haben. Dabei ist
der führende Term von 4 3 n3 um einen Viertel auf je n 3 Additionen
und Multiplikationen reduzierbar.
Pivotstrategien
Es ist wichtig, daran zu erinnern, dass selbst bei quadratischen
Matrizen der Gauss-Algorithmus und die dazu äquivalente LR–
Zerlegung in einer Arithmetik mit endlicher Genauigkeit (wo Rundungsfehler
auftreten) nur dann zuverlässige Resultate liefert, wenn
man die Pivots geeignet wählt und wenn die Matrix nicht beinahe
singulär ist (was immerhin gleichzeitig überprüft werden kann).
Die meistens benutzte Regel (Pivotstrategie [pivot strategy]) besagt,
dass man im jten Eliminationsschritt als Pivot a (j−1)
pj jenes
Element wählen soll, das unter allen m − j + 1 Elementen der ersten
Kolonne der Restgleichungsmatrix das betragsmässig grösste
ist:
|a (j−1)
pj | = max
j≤k≤m |a(j−1) kj
| . (3.27)
Diese Regel nennt man Kolonnenmaximumstrategie oder partielles
Pivotieren [partial pivoting]. Damit lässt sich fast immer
vermeiden, dass in L und R Elemente entstehen, die viel grösser
sind als jene von A und zu grossen Rundungsfehlern führen können.
Allerdings setzt dies voraus, dass die Zeilen von A von der gleichen
Grössenordnung sind.
Noch sicherer wäre es, auch Kolonnenvertauschungen zuzulassen
und in der ganzen Restgleichungsmatrix nach dem grössten oder
sogar dem relativ grössten Element (im Vergleich zu den anderen
derselben Zeile) zu suchen. Aber dieses vollständige Pivotieren
[complete pivoting] ist zu aufwendig und wird kaum je angewandt.
LA-Skript 3-8 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht