Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 8 — Determinanten
einzige Komponente ungleich 0 hat. Wendet man die (gemäss Korollar
8.10 geltende) Kolonnenversion von Eigenschaft (i) an auf die Matrix
A mit der l–ten Kolonne geschrieben als diese Summe, so folgt unter
Berücksichtigung von Lemma 8.11 gerade die Kolonnenentwicklung
(8.17).
Die Entwicklung (8.16) erhält man aus (8.17) wiederum durch Anwendung
von det A = det A T (Satz 8.9).
Beispiel 8.10: Für eine 3 × 3–Matrix gilt bei Entwicklung nach der
ersten Kolonne:
∣ a 11 a 12 a 13 ∣∣∣∣∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣∣∣ a a 21 a 22 a 23 = a 22 a 23 ∣∣∣ ∣∣∣ a
11 − a 12 a 13 ∣∣∣ ∣∣∣ a
∣
a
a 31 a 32 a 32 a 21 + a 12 a 13 ∣∣∣
33 a 32 a 31
33 a 22 a 23
33
= a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23
− a 31 a 22 a 13 − a 21 a 12 a 33 − a 11 a 32 a 23 .
Dies stimmt mit der eingangs erwähnten Regel von Sarrus überein.
Beispiel 8.11:
Entwickeln wir die bereits betrachtete Matrix
⎛
⎞
1 3 5 1
A = ⎜ 2 4 6 3
⎟
⎝ 3 6 4 2 ⎠
1 5 3 1
nach der zweiten Zeile: Wir kennen bereits κ 23 = −2; weiter ist
∣ ∣∣∣∣∣ 3 5 1
κ 21 = (−1) 3 6 4 2
5 3 1 ∣ = −12 ,
∣ ∣∣∣∣∣ 1 5 1
κ 22 = (−1) 4 3 4 2
1 3 1 ∣ = −2 ,
∣ ∣∣∣∣∣ 1 3 5
κ 24 = (−1) 6 3 6 4
1 5 3 ∣ = 28 .
Zusammen ergibt sich
det A = a 21 κ 21 + a 22 κ 22 + a 23 κ 23 + a 24 κ 24
= 2 · (−12) + 4 · (−2) + 6 · (−2) + 3 · 28
= 40 .
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 8-11