Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 6 — Vektorräume mit Skalarprodukt Lineare Algebra (2007)
Beispiel 6.6: Die Monome a k : t ↦−→ t k−1 (k = 1, 2, . . . ) bilden ja
eine Basis des Vektorraumes P aller Polynome mit reellen Koeffizienten.
(Man könnte stattdessen auch komplexe zulassen.) Diese Basis ist aber
nicht orthonormal bezüglich des Skalarproduktes
〈p, q〉 :≡
∫ 1
−1
p(t) q(t) dt ,
denn zum Beispiel ist 〈 t 2 , 1 〉 = 2 3 ≠ 0. Wir können diese Basis aber mit
dem Gram–Schmidt–Verfahren orthonormieren:
∫ 1
‖a 1 ‖ 2 = 1 dt = t ∣ 1 = 2 , b 1(t) = a 1(t)
−1 ‖a 1 ‖ = √ 1 , 2
〈b 1 , a 2 〉 =
−1
〈 1
〉 ∫ 1
√2 , t =
−1
t
√
2
dt =
t2
2 √ 2
˜b2 (t) = a 2 (t) − 〈b 1 , a 2 〉 b 1 (t) = t − 0 = t ,
∣ 1 −1 = 0 ,
‖˜b 2 ‖ 2 =
∫ 1
−1
t 2 dt = t3 3
∣ 1 −1 = 2 3 ,
b 2(t) = ˜b 2 (t)
‖˜b 2 ‖ = √
3
2 t ,
〈b 1 , a 3 〉 =
〈 1 √2 , t 2〉 = 2 3
1
〈 √ 3
√ , 〈b 2 , a 3 〉 =
2 2 t , t2〉 = 0 ,
˜b3 (t) = a 3 (t) − 〈b 1 , a 3 〉 b 1 (t) − 〈b 2 , a 3 〉 b 2 (t) = t 2 − 2 3
1
√
2
1 √2 = t 2 − 1 3
‖˜b 3 ‖ 2 =
∫ 1
−1
(
t 2 − 1 ) 2 t 5
dt =
3 5 − 2t3 t
∣ 1
9 9
= 8
−1 45 ,
b 3 (t) =
√
45
8
(
t 2 − 1 )
, usw.
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Auf diese Art entsteht eine Folge {b k } ∞ k=1
orthonormaler Polynome mit
Grad b k = k − 1. Die umskalierten orthogonalen Polynome P k (t) :≡
b k+1 (t)/b k+1 (1) heissen Legendre–Polynome 6 [Legendre polynomials].
Auf analoge Art erhält man bei Benützung des Skalarproduktes
〈p, q〉 :≡
∫ 1
−1
p(t) q(t)
√
1 − t 2 dt
die Tschebyscheff–Polynome 7 [Chebyshev polynomials]. Allgemeiner
kann man zu jedem endlichen oder unendlichen Intervall und jeder dazu
passenden positiven Gewichtsfunktion eine Folge von Orthogonalpolynomen
[orthogonal polynomials] definieren. Zu deren Konstruktion
gibt es aber einen effizienteren Algorithmus als das Verfahren von
Gram-Schmidt, denn drei aufeinanderfolgende Polynome sind immer
durch eine Rekursionsformel verknüpft.
6 Adrien Marie Legendre (18.9.1752 – 10.1.1833), französischer Mathematiker,
ab 1755 Professor an der École Militaire in Paris, später an der École
Normale.
7 Pafnuti Lwowitsch Tschebyscheff (14.5.1821 – 26.11.1894), russischer
Mathematiker, ab 1857 Professor in St. Petersburg.
LA-Skript 6-10 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht