Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 4 — Vektorräume Lineare Algebra (2007)
Zu jedem dieser Beispiele reeller Vektorräume gibt es einen analog
definierten komplexen Vektorraum. Zum Beispiel analog zu C[a, b]
den Raum der auf [a, b] stetigen komplexwertigen Funktionen.
Es sei nochmals betont, dass man für jedes Beispiel verifizieren
müsste, dass die Vektorraum-Axiome erfüllt sind.
Aus den Vektorraum-Axiomen lassen sich eine Reihe weiterer einfacher
Regeln ableiten:
Satz 4.1 Es sei V ein Vektorraum über E. Für alle x, y ∈ V und
alle α ∈ E gilt:
0x = o , (4.6)
αo = o , (4.7)
αx = o =⇒ α = 0 oder x = o , (4.8)
(−α)x = α(−x) = −(αx) . (4.9)
Obwohl diese Aussagen im Hinblick auf den Spezialfall V = R n
trivial aussehen, sind ihre Beweise zum Teil etwa mühselig. Als
Beispiel eines solchen Beweises geben wir jenen für (4.6) an.
Beweis von (4.6):
Es ist nach (V6) zunächst
0x = (0 + 0) x = 0x + 0x .
Nach (V4) gibt es zu y :≡ 0x einen Vektor −y mit 0x+(−y) = o. Unter
Verwendung von (V2) und (V3) folgt weiter, dass
o = 0x + (−y) = (0x + 0x) + (−y)
(V 2)
(V 3)
= 0x + (0x + (−y)) = 0x + o = 0x .
Ähnlich beweist man
Satz 4.2 Zu x, y ∈ V existiert z ∈ V mit x + z = y, wobei z
eindeutig bestimmt ist und gilt: z = y + (−x).
Die erste Aussage (Existenz) kann an die Stelle der Axiome (V3)
und (V4) treten. Der Satz liefert auch eine Definition der Subtraktion
in V :
Definition: In einem Vektorraum V ist die Subtraktion [subtraction]
zweier Vektoren x, y ∈ V definiert durch
y − x :≡ y + (−x) .
Ausblick: Allgemeiner kann man in der Definition des Vektorraumes
anstelle von R oder C einen beliebigen Skalarenkörper
[field of scalars] K zulassen und Vektorräume über K definieren.
Ein Körper ist eine weitere durch Axiome definierte mathematische
Struktur. Es ist ein kommutativer Ring mit Eins und ohne
Nullteiler, indem auch die Division definiert ist, solange der Divisor
(Nenner) nicht das neutrale Element der Addition (die “Null”) ist.
LA-Skript 4-4 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht