Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 5 — Lineare Abbildungen Lineare Algebra (2007)
Wie wir bereits in Beispiel 5.6 betont haben, ist auch im A mit
dem Gleichungssystem Ax = b verknüpft. Zusammengefasst gilt:
Satz 5.11 Fasst man die Matrix A als lineare Abbildung auf, so
ist das Bild von A gleich dem Kolonnenraum oder Wertebereich
von A, und der Kern von A ist gleich dem Nullraum von A:
im A = R(A) , ker A = N (A) . (5.33)
Das Gleichungssystem Ax = b ist genau dann lösbar, wenn b im
Kolonnenraum von A liegt. Eine allfällige Lösung ist genau dann
eindeutig, wenn N (A) = {o} ist, das heisst das homogene System
nur die triviale Lösung hat.
Die Lösungsmenge L 0 von Ax = o haben wir bereits in Kapitel 1
studiert, siehe insbesondere Korollar 1.5. Im homogenen Fall gilt
im Endschema des Gauss-Algortihmus c 1 = · · · = c m = 0, das
heisst die Verträglichkeitsbedingungen sind immer erfüllt, und die
allgemeine Lösung hat n − r frei wählbare Parameter. Nehmen wir
der Einfachheit halber an, dass die ersten r Variablen x 1 , . . . , x r
gerade die Pivotvariablen sind, d.h. dass A auf eine Matrix R mit
der speziellen Zeilenstufenform
⎛
⎞
r 11 ∗ ∗ · · · · · · · · · ∗
0 r 22 ∗ · · · · · · · · · ∗
. . . .
. . .
.
R :≡
.
.. . r rr ∗ · · · ∗
← r (5.34)
0 · · · · · · 0 0 · · · 0
⎜
⎟
⎝ .
. . . ⎠
0 · · · · · · 0 0 · · · 0
↑
r + 1
reduziert worden ist. (Dies ist stets durch nachträgliches Umnummerieren
der Variablen erreichbar.) Dann sind also x r+1 , . . . , x n frei
wählbar. Wählen wir für irgend ein l ∈ {1, . . . , n − r}
x (l)
k
:=
{ 1 falls k = r + l ,
0 falls r < k < r + l or r + l < k ≤ n ,
und bestimmen wir weiter die Komponenten x (l)
r , x (l)
r−1, . . . , x (l)
1
durch Rückwärtseinsetzen, so erhalten wir einen Lösungvektor x l .
Die so bestimmten n − r Lösungen x 1 , . . . , x n−r haben die Form
⎛
x 1 =
⎜
⎝
∗.
∗
1
0.
0
⎞
⎛
← r + 1 , x 2 =
⎟
⎜
⎠
⎝
∗.
∗
0
1.
0
⎞
, . . . , x n−r =
⎟
⎜
⎠
⎝
↑
n
⎛
∗.
∗
0
0.
1
⎞
⎟
⎠
(5.35)
LA-Skript 5-12 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht