Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 7 — Kleinste Quadrate, QR
Satz 7.4 Die Orthogonalprojektion P A : E m → im A ⊆ E m auf
den Kolonnenraum R(A) ≡ im A einer m × n–Matrix A mit
Rang n (≤ m) ist gegeben durch
P A :≡ A(A H A) −1 A H . (7.4)
Beweis:
Zunächst ist
P 2 A = A(A H A) −1 A H A (A H A) −1 A H = P A ,
P A ist also ein Projektor. Weiter ist im P A = im A, denn es ist klar,
dass im P A ⊆ im A, und andererseits existiert zu z = Ax ∈ im A ein y
mit P A y = z, denn die entsprechende Gleichung für y,
A(A H A) −1 A H y = z = Ax
lässt sich lösen, indem man y so wählt, dass
(A H A) −1 A H y = x, d.h. A H y = A H Ax = A H z .
Zum Beispiel ist y = z eine Lösung; sie ist aber nicht eindeutig, falls
n < m. Aus (7.4) sieht man weiter sofort, dass P H A = P A, also ist P A
eine Orthogonalprojektion, vgl. Satz 7.2 (iii). Es ist im übrigen auch
einfach zu zeigen, dass aus y ⊥ im A, d.h. y H Ax = 0 (∀x), folgt, dass
y ∈ ker P A . Aus Dimensionsgründen gilt dann ker P A ⊥ im P A , die
ursprüngliche Bedingung (7.2) für einen orthogonalen Projektor.
Geometrisch ist klar, dass ein Projektor nicht davon abhängt, durch
welche Vektoren man die “Projektionsebene” R(A) ≡ im A aufspannt.
Man kann das auch formal beweisen. Wir dürfen also insbesondere
a 1 , . . . , a n ersetzen durch n orthonormale Vektoren, d.h.
wir ersetzen A ∈ E m×n durch Q ∈ E m×n mit R(Q) = R(A) und
Q H Q = I n . Damit vereinfacht sich die Formel (7.4) für den Projektor:
Korollar 7.5 Die Orthogonalprojektion P Q : E m → im Q ⊆ E m
auf den Kolonnenraum R(Q) ≡ im Q einer m × n–Matrix Q =
(
q1 · · · q n
)
mit orthonormalen Kolonnen ist gegeben durch
Es gilt also für jedes y ∈ E m
P Q :≡ Q Q H . (7.5)
P Q y = Q Q H y =
n∑
q j q H j y =
j=1
n∑
q j 〈q j , y〉 . (7.6)
j=1
Soll eine Orthogonalprojektion auf einen Kolonnenraum R(A) berechnet
werden, so kann man also auf zwei Arten vorgehen: Entweder
man wendet die allgemeine Formel (7.4) an oder man ersetzt
A durch eine Matrix Q mit orthonormalen Kolonnen und wendet
dann die einfacheren Formeln (7.5) und (7.6) an. Auf den Übergang
von A auf Q werden wir in Abschnitt 7.3 zurückkommen.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 7-3