Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 10 — Anwendungen EW-Zerlegung
Für eine Hermitesche Matrix vereinfacht sich die Formel: es ist ja
A H A = A 2 , und allgemein sind die Eigenwerte von A 2 die Quadrate
jener von A. Also ist in diesem Fall ω k = λ 2 k und damit
max √ ω k = max |λ k |. Es gilt somit:
Satz 10.8 Die Spektralnorm einer Hermiteschen (oder reell symmetrischen)
Matrix A ∈ E n×n ist gleich dem Betrag des grössten
Eigenwertes dieser Matrix:
‖A‖ 2 = max{|ω| ; ω Eigenwert von A}. (10.81)
Noch einfacher ist der Fall einer unitären (oder orthgonalen) Matrix
U: Wegen U H U = I ist stets ‖U‖ 2 = 1.
Für die 2–Norm der Inversen A −1 einer Matrix kann man analoge
Formeln herleiten wie für die 2–Norm von A selbst:
Satz 10.9 Die Spektralnorm der Inversen A −1 einer Matrix ist
gleich dem Inversen der Wurzel aus dem kleinsten Eigenwert von
A H A oder, äquivalent,
{ }
1
‖A −1 ‖ 2 = max √ ; ω Eigenwert von A H A (10.82)
ω
=
1
min { √ ω ; ω Eigenwert von A H A} . (10.83)
Ist A Hermitesch (oder reell symmetrisch), so ist ‖A −1 ‖ 2 gleich
dem Inversen des Betrages des kleinsten Eigenwertes von A:
{ }
1
‖A −1 ‖ 2 = max
|ω| ; ω Eigenwert von A (10.84)
1
=
min {|ω| ; ω Eigenwert von A } . (10.85)
Die Sätze 10.7, 10.8 und 10.9 erlauben uns insbesondere, die in
(6.77) eingeführte 2–Norm–Konditionszahl
zu berechnen.
κ 2 (A) = ‖A‖ 2 ‖A −1 ‖ 2
Korollar 10.10 Die 2–Norm–Konditonszahl einer Matrix A ∈
E n×n ist gegeben durch
κ 2 (A) = max { √ ω ; ω Eigenwert von A H A }
min { √ ω ; ω Eigenwert von A H A} . (10.86)
Ist A Hermitesch (oder reell symmetrisch), so vereinfacht sich diese
Formel zu
κ 2 (A) =
max {|ω| ; ω Eigenwert von A }
min {|ω| ; ω Eigenwert von A } . (10.87)
Insbesondere ist die Konditionszahl immer grösser oder gleich 1.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 10-17