Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 1 — Lineare Gleichungssysteme Lineare Algebra (2007)
Box 1.1 Gauss-Elimination im Falle eines regulären Systems
Algorithmus 1.1 (Gauss-Algorithmus, regulärer Fall)
Zum Lösen des n × n-Gleichungssystems Ax = b führe wie folgt
für j = 1, . . . , n − 1 je einen Eliminationsschritt durch. Das gegebene
System bezeichnen wir hier als 0-tes Restgleichungssystem
mit Koeffizientenmatrix A (0) := A und rechter Seite b (0) := b.
(a) Wähle in der vordersten Kolonne des Restgleichungssystems
das j-te Pivotelement a (j−1)
pj ≠ 0 aus. Für den Zeilenindex p
der Pivotzeile gilt dabei p ∈ {j, . . . , n}. Falls p ≠ j, vertausche
die Zeile p mit der Zeile j und nummeriere die Koeffizienten
und rechten Seiten entsprechend um; das Pivotelement
heisst dann a (j−1)
jj .
Lässt sich kein j-tes Pivotelement finden, weil die vorderste
Kolonne des Restgleichungssystems lauter Nullen enthält, so
bricht der Algorithmus ab: das System ist singulär.
(b) Berechne für k = j + 1, . . . , n die Faktoren
l kj := a (j−1)
kj
/a (j−1)
jj (1.10)
und subtrahiere das l kj -fache der Zeile mit Index j von der
Zeile mit Index k:
a (j)
ki
b (j)
k
:= a (j−1)
ki
:= b (j−1)
k
− l kj a (j−1)
ji , i = j + 1, . . . , n , (1.11a)
− l kj b (j−1)
j . (1.11b)
Ist nach n − 1 Eliminationsschritten a (n−1)
nn ≠ 0, so gilt dieses
Element als ntes Pivotelement; andernfalls bricht der Algorithmus
ab: das System ist singulär.
Berechne durch Rückwärtseinsetzen die eindeutig bestimmte
Lösung des Systems: berechne dazu für k = n, n − 1, . . . , 1
(
)
n∑
x k := b (k−1)
k
− a (k−1) 1
ki
x i . (1.12)
i=k+1
a (k−1)
kk
LA-Skript 1-8 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht