Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 1 — Lineare Gleichungssysteme Lineare Algebra (2007)
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n = b 2
. .
. .
a m1 x 1 + a m2 x 2 + · · · + a mn x n = b m .
(1.1)
Die gegebenen Zahlen a ij (i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n) sind die
Koeffizienten [coefficients] des Systems, die ebenfalls gegebenen
Zahlen b i (i = 1, . . . , m) bilden die rechte Seite [right-hand side]
und die Grössen x 1 , x 2 , . . . , x n sind die Unbekannten [unknowns].
Falls m = n, nennen wir das System quadratisch [square] 2 .
Ab Kapitel 2 werden wir das System (1.1) in der folgenden Form
schreiben:
⎛
⎛ ⎛
oder kurz,
⎞
a 11 a 12 . . . a 1n
a 21 a 22 . . . a 2n
⎜
⎟
⎝ . . . ⎠
a m1 a m2 . . . a mn
} {{ }
A
⎜
⎝
⎞
x 1
x 2
⎟
. ⎠
x n
} {{ }
x
Ax = b
= ⎜
⎝
⎞
b 1
b 2
⎟
. ⎠
b m
} {{ }
b
(1.2a)
(1.2b)
mit der (Koeffizienten-)Matrix [matrix; pl. matrices] A und den
Vektoren [vectors] x und b.
Wir fassen in diesem Kapitel (1.2a) einfach als eine neue Schreibweise
für (1.1) auf und betrachten (1.2b) als eine Abkürzung für
(1.2a). Es gibt deshalb im Moment nichts zu verstehen. In Kapitel
2 werden wir dann sehen, dass Ax als Produkt der Matrix A
und des Vektors x aufgefasst werden kann — man muss dazu nur
dieses Produkt richtig definieren.
Für die Praxis von grosser Bedeutung ist nur der Fall, wo m = n ist
und es genau eine Lösung gibt. Der allgemeine Fall, wo die Zahl m
der Gleichungen und die Zahl n der Unbekannten nicht unbedingt
gleich sind, ist aber für die Theorie der linearen Algebra wichtig.
Für diese liefert er fundamentale Aussagen.
Wir behandeln primär reelle Systeme, aber alles gilt genau gleich
für komplexe, d.h. solche mit komplexen Koeffizienten, komplexen
Konstanten auf der rechten Seite und komplexen Unbekannten.
In diesem Kapitel tragen wir die in (1.1) auftretenden Grössen in
ein Eliminationsschema ein:
x 1 x 2 . . . x n 1
a 11 a 12 . . . a 1n b 1
a 21
.
a 22
.
. . . a 2n
.
b 2
.
(1.3)
a m1 a m2 . . . a mn b m
2 Man beachte, dass es im Englischen zwei Bezeichnungen für “quadratisch”
gibt: ein quadratisches Bild nennt man “square”, eine quadratische Gleichung
“quadratic”.
LA-Skript 1-2 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht