Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 1 — Lineare Gleichungssysteme
1.3 Die Lösungsmenge eines linearen
Gleichungssystems
In diesem Abschnitt wollen wir aus der Zeilenstufenform (1.28) eines
allgemeinen linearen Gleichungssystems (1.1) aus m Gleichungen
in n Unbekannten eine Reihe von einfachen theoretischen Aussagen
ableiten.
Der Rang r des Systems spielt dabei eine wichtige Rolle. Er ist
nach Definition gleich der Anzahl der Pivotelemente, die bei der
Reduktion auf Zeilenstufenform mittels Gauss-Elimination (Algorithmus
1.2) auftreten oder auch die Zahl der Zeilen in der Zeilenstufenform
der Koeffizientenmatrix, die nicht lauter Nullen enthalten.
Erinnern wir uns daran, dass aufgrund unserer Konstruktion das
gegebene System (1.1) und das daraus abgeleitete System (1.28) in
Zeilenstufenform äquivalent sind, d.h. die gleichen Lösungen haben.
Beim letzteren können wir aber sofort sehen, ob es Lösungen hat,
und wenn ja, können wir die allgemeine Lösung leicht berechnen.
Die Anzahl der freien Variablen ist n − r, und die Anzahl der Verträglichkeitsbedingungen
ist m − r. Aufgrund der Definition von
r ist klar, dass gilt: r ≤ min{m, n} .Daraus ergibt sich bereits der
folgende wichtige Satz über Existenz und Eindeutigkeit der Lösung.
Satz 1.1 Das System (1.28) und damit das System (1.1) hat genau
dann (mindestens) eine Lösung, wenn
• entweder r = m ist
(d.h. keine Verträglichkeitsbedingungen auftreten),
• oder r < m und c r+1 = c r+2 = · · · = c m = 0 ist
(d.h. die Verträglichkeitsbedingungen erfüllt sind).
Gibt es Lösungen, so gilt
• falls r = n: die Lösung ist eindeutig,
• falls r < n: es gibt eine (n−r)–parametrige Lösungsschar
(denn die n − r freien Variablen sind frei wählbar).
Wir können daraus leicht weitere Schlüsse ziehen. Zur Formulierung
verwenden wir wieder die Bezeichnung Ax = b aus (1.2b).
Korollar 1.2 Der Rang r hängt nur von der Koeffizientenmatrix
A ab, aber nicht von den gewählten Pivotelementen oder von der
rechten Seite b.
Beweis: Der Rang bestimmt die Zahl n − r freier Parameter in der
Lösungsmenge. Letztere bleibt aber während der Gauss-Elimination unverändert.
Zudem ist r unabhängig von der rechten Seite des Systems.
Also muss r eindeutig bestimmt sein durch die Koeffizientenmatrix A.
(Die Stichhaltigkeit dieses Beweises wird später untermauert werden.)
Aufgrund von Korollar 1.2 schreiben wir r = Rang A [r = rank A].
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 1-17