Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 4 — Vektorräume Lineare Algebra (2007)
4.2 Unterräume, Erzeugendensysteme
Definition: Eine nichtleere Teilmenge U eines Vektorraums V
heisst Unterraum [subspace], falls sie bezüglich Addition und skalarer
Multiplikation abgeschlossen ist, d.h. falls
x + y ∈ U, αx ∈ U (∀x, y ∈ U, ∀α ∈ E) . (4.11)
In einem Unterraum U ⊆ V sind Addition und Multiplikation gleich
definiert wie in V . Zudem gelten die Axiome (V1), (V2), (V5)–(V8),
weil sie in V gelten. Schliesslich ist für jedes x ∈ U auch 0x ∈ U
und (−1)x ∈ U, wobei wir nach Satz 4.1 und (V8) wissen, dass
0x = o , (−1) x = −(1x) = −x .
Also gelten (V3) und (V4) auch, und wir erhalten die folgende Aussage.
Satz 4.3 Ein Unterraum ist selbst ein Vektorraum.
Beispiel 4.7: Fasst man die Polynome als auf R definierte Funktionen
auf, und ist 0 < m < n, so gilt
P 0 ⊂ P m ⊂ P n ⊂ P ⊂ C ∞ (R) ⊂ C n (R) ⊂ C m (R) ⊂ C(R) , (4.12)
wobei nun jeder Raum Unterraum der rechts davon stehenden Vektorräume
ist.
Beispiel 4.8: Jeder Vektorraum V ist ein Unterraum von sich selbst.
Zudem hat jeder Vektorraum als Unterraum den Raum {o}, der nur den
Nullvektor enthält. Dieser Nullraum ist selbst auch ein Vektorraum, der
alle Axiome erfüllt.
Beispiel 4.9: Im geometrisch interpretierten Vektorraum R 3 der Ortsvektoren
ist jede Ebene durch den Ursprung O und jede Gerade durch
O ein Unterraum.
Ein weiteres, besonders wichtiges Beispiel formulieren wir als Satz:
Satz 4.4 Ist A ∈ R m×n eine reelle m×n–Matrix und L 0 die Menge
der Lösungsvektoren x ∈ R n des homogenen Gleichungssystems
Ax = o ,
so ist L 0 ein Unterraum von R n .
Beweis:
und für alle α ∈ R
Sind x, y ∈ L 0 , d.h. gilt Ax = o und Ay = o, so folgt
d.h. es gilt x + y ∈ L 0 , αx ∈ L 0 .
A(x + y) = Ax + Ay = o ,
A(αx) = α(Ax) = o ,
LA-Skript 4-6 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht