Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 4 — Vektorräume Lineare Algebra (2007)
4.4 Basiswechsel, Koordinatentransformation
Es sei {b 1 , . . . , b n } eine vorgegebene, “alte” Basis des Vektorraumes
V , und es sei {b ′ 1, . . . , b ′ n} eine zweite, “neue” Basis von V . Die
neuen Basisvektoren kann man in der alten Basis darstellen:
n∑
b ′ k = τ ik b i , k = 1, . . . , n . (4.38)
i=1
Die n × n-Matrix T = ( τ ik
)
heisst Transformationsmatrix
[transformation matrix] des Basiswechsels [change of basis].
Beachte: In der k-ten Kolonne von T stehen gerade die Koordinaten
des k-ten neuen Basisvektors (bezüglich der alten Basis).
Solch ein Basiswechsel hat eine Koordinatentransformation [coordinate
transformation] zur Folge, die sich so beschreiben lässt:
Satz 4.13 Es sei ξ = ( ) T
ξ 1 . . . ξ n der Koordinatenvektor eines
beliebigen Vektors x ∈ V bezüglich der alten Basis, und es
sei ξ ′ = ( )
ξ 1 ′ . . . ξ n
′ T
der Koordinatenvektor dieses Vektors x
bezüglich einer neuen, durch (4.38) gegebenen Basis, so dass
n∑
ξ i b i = x =
i=1
n∑
ξ k ′ b ′ k . (4.39)
k=1
Dann gilt für diese Koordinatentransformation:
ξ i =
n∑
τ ik ξ k ′ , i = 1, . . . , n , (4.40)
k=1
d.h. es ist
ξ = Tξ ′ , (4.41)
wobei die Transformationsmatrix T regulär ist, so dass also
ξ ′ = T −1 ξ . (4.42)
Beachte: In (4.38) wird die neue Basis in der alten dargestellt, aber
in (4.40) werden die alten Koordinaten von x als Funktionen der
neuen beschrieben.
Beweis von Satz 4.13:
n∑
n∑
x = ξ k ′ b′ k =
k=1
k=1
ξ ′ k
Nach (4.38) und (4.40) ist
( n∑ ) n∑ ( n∑ )
τ ik b i = τ ik ξ k
′ b i =
i=1
i=1 k=1
} {{ }
= ξ i
n∑
ξ i b i .
Weil x laut Satz 4.12 nur auf eine Art als Linearkombination der Basisvektoren
b i darstellbar ist, folgt (4.40).
Der Nullvektor o wird in den beiden Basen eindeutig dargestellt durch
ξ = o bzw. ξ ′ = o. Fasst man (4.41) als Gleichungssystem für ξ ′ auf,
LA-Skript 4-18 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht
i=1