Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 9 — Eigenwerte und Eigenvektoren
In diesem Falle gibt es also zu F eine extrem einfache Abbildungsmatrix,
ähnlich wie das allgemein gilt für eine lineare Abbildung
F : V → W zwischen zwei verschiedenen Räumen, wo man in
beiden die Basis frei wählen kann, vgl. Satz 5.20, wo die Diagonalelemente
sogar alle 0 oder 1 sind. Aber während man dort im
wesentlichen nur Basen von Kern und Bild bestimmen muss, sowie
die Urbilder der letzteren, ist hier die Bestimmung einer Basis aus
Eigenvektoren eine rechnerisch sehr aufwendige Aufgabe, die man
zudem im allgemeinen nur approximativ lösen kann, falls n > 3.
Bereits in Lemma 9.1 haben wir gesehen, dass man sich für die Bestimmung
der Eigenwerte und Eigenvektoren einer linearen Selbstabbildung
F auf die Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren
einer zugehörigen Abbildungsmatrix A beschränken kann.
Für Matrizen gilt die folgende Neuformulierung von Lemma 9.8:
Satz 9.9 Zu einer Matrix A ∈ E n×n gibt es genau dann eine
ähnliche Diagonalmatrix Λ, wenn es eine Eigenbasis von A gibt.
Für die reguläre Matrix
V :≡ ( )
v 1 . . . v n
mit dieser Eigenbasis als Kolonnen gilt dann
A V = V Λ , d.h. A = V Λ V −1 . (9.22)
Gibt es umgekehrt eine reguläre Matrix V ∈ E n×n und eine Diagonalmatrix
Λ ∈ E n×n , so dass (9.22) gilt, so sind die Diagonalelemente
von Λ Eigenwerte von A und die Kolonnen von V
entsprechende Eigenvektoren, die eine Eigenbasis bilden.
Beweis: Der erste Teil des Satzes ist ein Spezialfall von Lemma 9.8.
Setzen wir eine Basis aus Eigenvektoren voraus, so dass
A v k = v k λ k (k = 1, . . . , n) (9.23)
gilt, ist klar, dass man diese n Gleichungen zur Matrix-Gleichung (9.22)
zusammenfassen kann, wobei V linear unabhängige Kolonnen hat, also
regulär ist. Dieser Schluss lässt sich auch umkehren.
Definition: A = V Λ V −1 heisst Spektralzerlegung [spectral
decomposition] oder Eigenwertzerlegung [eigenvalue decomposition]
von A.
Eine Matrix A, zu der es eine Spektralzerlegung A = V Λ V −1
mit diagonalem Λ gibt, heisst diagonalisierbar [diagonalizable].
Eine diagonalisierbare n × n–Matrix lässt sich auf Grund der Spektralzerlegung
(9.22) als Summe von n Rang-1–Matrizen schreiben.
Genauer gilt:
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 9-11