Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 2 — Matrizen und Vektoren im R n und C n Lineare Algebra (2007)
Beispiel 2.29:
B =
⎛
⎜
⎝
2 0 0 0
3 4 0 0
0 2 6 0
0 0 5 3
⎞
⎟
⎠
ist eine untere Bidiagonalmatrix der Ordnung 4.
Eine quadratische Matrix T heisst tridiagonal [tridiagonal], d.h.
ist eine Tridiagonalmatrix [tridiagonal matrix], falls (T) ij = 0
für i > j + 1 und j > i + 1.
Beispiel 2.30:
T =
⎛
⎜
⎝
4 2 0 0
3 5 4 0
0 8 6 7
0 0 9 0
ist tridiagonal. Natürlich dürfen einzelne Elemente innerhalb des Bandes
null sein.
Eine m × n Matrix B ist eine Bandmatrix [banded matrix] mit
unterer Bandbreite [lower bandwidth] p und oberer Bandbreite
[upper bandwidth] q, wenn
⎞
⎟
⎠
(B) ij = 0 falls i > j + p oder j > i + q.
Die (gesamte)Bandbreite [(total) bandwidth] ist p + q + 1.
Beispiel 2.31:
⎛
B =
⎜
⎝
9 6 3 0 0
7 8 5 2 0
0 5 7 4 1
0 0 3 6 3
0 0 0 1 5
hat untere Bandbreite 1, obere Bandbreite 2 und gesamte Bandbreite 4.
(Die Diagonale wird also nur bei der gesamten Bandbreite mitgezählt.)
Tridiagonalmatrizen sind natürlich spezielle Bandmatrizen mit oberer
und unterer Bandbreite eins. Bei Bidiagonalmatrizen ist eine der
Bandbreiten eins, die andere null.
Eine wichtige Klasse einseitiger Bandmatrizen sind die Hessenberg-
Matrizen 16 [Hessenberg matrices], die untere Bandbreite 1 haben.
Beispiel 2.32:
⎛
H =
⎜
⎝
ist eine Hessenberg-Matrix.
9 6 3 2 1
7 8 5 2 1
0 5 7 4 1
0 0 3 6 3
0 0 0 1 5
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
16 Gerhard Hessenberg (16.8.1874 – 16.11.1925), deutscher Mathematiker,
Professor in Breslau und Tübingen.
LA-Skript 2-32 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht