Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 5 — Lineare Abbildungen
Kapitel 5
Lineare Abbildungen
Zum Strukturbegriff “Vektorraum” gehört der Abbildungsbegriff
“lineare Abbildung”. Eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen
heisst linear, wenn sie “die linearen Beziehungen invariant (unverändert)
lässt”. Wählt man in den Vektorräumen Basen, so induziert
eine solche Abbildung eine lineare Abbildung der Koordinaten.
Falls die Räume endlich-dimensional sind, wird diese durch
eine Matrix repräsentiert. Dies ist, in Kürze, der grundlegende Zusammenhang
zwischen linearen Abbildungen und Matrizen.
5.1 Definition, Beispiele, Matrixdarstellung
Zur Erinnerung ein paar Begriffe zum Thema “Abbildung” (oder
“Funktion”), die nicht auf lineare Abbildungen beschränkt sind:
Definition: Es sei F : X → Y irgend eine Abbildung. Die Menge
F (X) der Bildpunkte von F heisst Wertebereich [range] von F
oder Bild [image] von F . Sie wird auch mit im F bezeichnet:
F (X) = im F :≡ {F (x) ∈ Y ; x ∈ X} ⊆ Y .
Ist F (X) = Y , so ist F eine Abbildung auf [on] Y und heisst auch
surjektiv [surjektive]. Gilt
F (x) = F (x ′ ) =⇒ x = x ′ ,
so heisst F eineindeutig [one-to-one] oder injektiv [injektive].
Eine Abbildungen, die surjektiv und injektiv ist, heisst “eineindeutig
auf” [one-to-one onto] oder bijektiv [bijective].
Ist F bijektiv, so ist die inverse Abbildung [inverse map, inverse
mapping, inverse transformation] F −1 definiert.
Im allgemeinen ist jedoch F −1 nicht als Abbildung definiert. Der
Ausdruck F −1 (Z) bezeichnet dann die Menge der Urbilder von Elementen
z ∈ Z ⊆ Y .
Von nun an wollen wir “lineare” Abbildungen betrachten. Bei solchen
lässt man die Klammer um das Argument meist weg. Das
heisst, man schreibt einfach F X statt F (X) und F x statt F (x).
Das geht aber nicht immer: bei F (x + y) braucht es eine Klammer.
Definition: Eine Abbildung F : X → Y , x ↦→ F x zwischen zwei
Vektorräumen X und Y (über E) heisst linear [linear transformation],
wenn für alle x, ˜x ∈ X und alle γ ∈ E gilt
F (x + ˜x) = F x + F ˜x, F (γx) = γ(F x) . (5.1)
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 5-1