Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 8 — Determinanten
Definition: Das Signum [sign] einer Permutation p ist definiert
als
{ +1 falls ν in (8.1) gerade,
sign p =
(8.5)
−1 falls ν in (8.1) ungerade.
8.2 Determinante: Definition, Eigenschaften
Definition: Die Determinante [determinant] einer n×n–Matrix
A ist definiert als die Summe
det A = ∑ p∈S n
sign p · a 1,p(1) a 2,p(2) · · · a n,p(n) , (8.6)
die über die n! Permutationen
p : (1, 2, . . . , n) ↦→ (p(1), p(2), . . . , p(n))
läuft. Statt det (A) schreibt man oft auch |A|, wobei man dann
die Klammern der Matrix weglässt, wenn sie durch ihre Elemente
gegeben ist (und n > 1 ist).
Beispiel 8.2:
det
( 2 1
3 4
)
=
∣ 2 1
3 4
∣ .
Man beachte, dass jeder der n! Summanden in (8.6) aus jeder Zeile
und jeder Kolonne von A genau ein Element als Faktor enthält;
das heisst, die Faktoren sind verteilt wie die Einsen der zugehörigen
Permutationsmatrix.
Die Formel (8.6) ist für praktische Zwecke unbrauchbar, weil der
Rechenaufwand mit n wie n! zunimmt; es gibt ja n! Terme in der
Summe. Ein Computer, der 10 9 Multiplikationen pro Sekunde (1
GFLOP/s) ausführt, bräuchte für die Auswertung dieser Formel
etwa 77 Jahre, wenn n = 20 ist, bzw. etwa 10 140 Jahre, falls n = 100.
Brauchbar ist die Formel für 1 ≤ n ≤ 3 und in Spezialfällen.
Beispiel 8.3: Für Matrizen der Ordnungen 1, 2 und 3 liefert die
Formel (8.6) die folgenden Ausdrücke:
det ( ) a 11 = a11 ,
∣ a ∣
11 a 12 ∣∣∣
= a
a 21 a 11 a 22 − a 21 a 12 ,
22
∣
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
∣ ∣∣∣∣∣
= a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23
− a 31 a 22 a 13 − a 21 a 12 a 33 − a 11 a 32 a 23 . (8.7)
Das letzte ist die Regel von Sarrus 1 .
1 Pierre Sarrus (1798 – 1861), französischer Mathematiker, Professor in
Strasbourg.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 8-3