Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Lineare Algebra (2007)
Kapitel 1 — Lineare Gleichungssysteme
1
2
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 1
1 0 5 0 4 0 0 1 0 1
0 5 4 3 2 1 0 0 0 2
0 0 0 5 0 4 3 0 2 3
0 0 0 0 0 5 3 2 1 2
0 0 0 0 0 0 1 ♠ 0 0 1
0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
0 0 0 0 0 0 2 0 0 2
Jetzt kommt im Restgleichungssystem nur noch x 7 vor. Wir wollen dieses
noch aus den zwei letzten Gleichungen eliminieren. Dann erhalten
wir das folgende Endschema, in dem wir wieder alle fünf Pivotelemente
markiert haben:
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 1
1 ♠ 0 5 0 4 0 0 1 0 1
0 5 ♠ 4 3 2 1 0 0 0 2
0 0 0 5 ♠ 0 4 3 0 2 3
0 0 0 0 0 5 ♠ 3 2 1 2
0 0 0 0 0 0 1 ♠ 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
(1.18)
Das Endschema hat nun Zeilenstufenform [row echelon form] statt
der spezielleren Dreiecksgestalt.
Aus der Zeilenstufenform bekommt man wiederum durch Rückwärtseinsetzen
die Lösungen des letzten und damit auch des gegebenen Systems
(denn diese sind ja äquivalent). In unserem Beispiel sind die letzten
zwei Gleichungen für beliebige Werte der x k erfüllt. Die drittletzte Zeile
kann man nach x 7 auflösen, die viertletzte nach x 6 , die fünftletzte (d.h.
die dritte) nach x 4 , die zweite nach x 2 und die erste nach x 1 . Dabei
darf man die übrigen Variablen x 9 , x 8 , x 5 und x 3 frei wählen: es sind
freie Variable. Dagegen sind die Werte jener Variablen, nach denen man
auflöst, eindeutig bestimmt, sobald man die Werte der freien Variablen
vorgegeben hat. Jene Variablen stehen alle am Kopf einer Pivotzeile und
können deshalb als Pivotvariable [pivot variable] bezeichnet werden.
Eine “einfache” Lösung bekommt man, wenn man alle freien Variablen
null wählt. In unserem Beispiel ergibt sich dann
x 7 = 1 ,
x 6 = [2 − 3 · 1]/5 = −1/5 ,
x 4 = [3 − 3 · 1 − 4 · (−1/5)]/5 = 4/25 ,
x 2 = [2 − 0 · 1 − 1 · (−1/5) − 3 · (4/25)]/5 = 43/125 ,
x 1 = 1 − 0 · 1 − 0 · (−1/5) − 0 · (4/25) − 0 · (43/125) = 1 .
Also ist das 9-Tuppel
(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 , x 8 , x 9 ) =
(
1,
)
43
125 , 0, 4
25 , 0, −1 5 , 1, 0, 0
(1.19)
eine Lösung unseres Systems (1.17). Man sieht hier übrigens, dass “einfach”
in diesem Zusammenhang nicht unbedingt bedeutet, dass die Lösung
eines ganzzahligen Systems nur ganze Zahlen und Brüche mit möglichst
kleinen Nennern hat.
c○M.H. Gutknecht 30. September 2007 LA-Skript 1-13