Lineare Algebra - SAM - ETH Zürich

Kapitel 2 — Matrizen und Vektoren im R n und C n Lineare Algebra (2007)
Diese Formeln liefern den Winkel [angle] zwischen zwei Vektoren,
wobei 0 ≤ ϕ ≤ π gilt. Dass sie nicht nur im R 2 sondern auch im R n
und im C n gelten, lässt sich daraus schliessen, dass die zwei Vektoren
in einer (zweidimensionalen) Ebene liegen, dass der Winkel
gemäss (2.45) durch Längen ausgedrückt werden kann und dass,
wie wir später sehen werden, Längen und Skalarprodukt nicht vom
Koordinatensystem abhängen, solange dieses orthonormiert bleibt.
(2.57) liefert auch eine neue Interpretation der Schwarzschen Ungleichung
(2.52) im R n : der Faktor, um den die linke Seite von (2.52)
kleiner ist als die rechte, ist gerade | cos ϕ|. Das Gleichheitszeichen
gilt in (2.52) also genau dann, wenn | cos ϕ| = 1 ist, das heisst wenn
der Zwischenwinkel ϕ null oder π ist.
Definition: Zwei n-Vektoren x und y sind zueinander orthogonal
[orthogonal] (oder: stehen senkrecht aufeinander [are
perpendicular]) falls 〈x, y〉 = 0. Wir schreiben: x ⊥ y.
Beispiel 2.19: In Beispiel 2.18 erhielten wir für die zwei Vektoren
(2.55): ‖x‖ 2 = 9, ‖y‖ 2 = 289, 〈x, y〉 = 38. Also ist
cos ϕ = 38
3 · 17 = 38
51 = 0.745098.. ,
was ϕ = 0.7301145.. oder, in Grad, ϕ = 41.83248.. ◦ ergibt.
Beispiel 2.20:
Die Vektoren
u := ( 1 2 3 4 5 6 ) T , v :=
(
−6 5 −4 3 −2 1
) T
stehen wegen 〈u, v〉 = −6+10−12+12−10+6 = 0 senkrecht aufeinander.
Zwei senkrechte Vektoren bilden zusammen mit dem an die Spitze
von y verschobenen Vektor x − y ein rechtwinkliges Dreieck. Der
Satz von Pythagoras nimmt damit folgende Form an:
Satz 2.13 (Satz von Pythagoras) Für x, y ∈ E n mit x ⊥ y
gilt
‖x ± y‖ 2 = ‖x‖ 2 + ‖y‖ 2 (2.58)
Beweis: Aus der Definition (2.49), den Eigenschaften (S1), (S4) und
(S2) bzw. (S2’), sowie der Voraussetzung 〈x, y〉 = 0 folgt:
denn 〈y, x〉 = 〈x, y〉 = 0.
‖x ± y‖ 2 = 〈x ± y, x ± y〉
= 〈x, x〉 ± 〈x, y〉 ± 〈y, x〉 + 〈y, y〉
= ‖x‖ 2 + ‖y‖ 2 ,
Neben dem Euklidischen Skalarprodukt (2.47)–(2.48) und der davon
abgeleiteten (Euklidischen) 2–Norm werden in der Praxis ab
und zu noch andere Skalarprodukte und Normen gebraucht. Dabei
werden auch Normen eingeführt, die nicht gemäss (2.49) auf einem
Skalarprodukt beruhen.
LA-Skript 2-22 30. September 2007 c○M.H. Gutknecht