Salinas, P. (2010). - Repositorio Digital - Instituto Politécnico Nacional

SOBRE EL PARADIGMA NEWTONIANO
Kleiner (2001) afirma que el trabajo de Newton en relación al Cálculo fue desarrollado en
tres versiones diferentes, y se ha pensado que cada versión responde a uno de los
propósitos siguientes: descubrir resultados de manera efectiva, proveer de algoritmos
útiles, o dar demostraciones convincentes. Aunque en la solución de problemas no
siempre se mantienen aparte, los tres métodos pueden diferenciarse, respectivamente,
por su uso de infinitesimales en un acercamiento geométrico para descubrir, por su uso de
las fluxiones en un acercamiento cinemático para producir, y por su uso de las primeras y
últimas razones en un acercamiento algebraico para proveer de rigor.
En nuestro estudio estamos especialmente interesados en analizar algunos elementos del
trabajo de Newton relacionado con la cinemática, es decir, con intención de producir
resultados. Noción fundamental del mismo es la de variable continua que refiere como
fluente y cuya imagen, geométrica y cinemática, evoca a una cantidad que experimenta en
el tiempo un cambio continuo, como un punto que fluye continuamente a lo largo de una
curva. El concepto básico de fluxión es la razón instantánea de cambio, o la velocidad
instantánea de la fluente, la cual no está definida sino que se da por entendida
intuitivamente; el objetivo es calcularla.
En el cálculo de la tangente a una curva que Kleiner (2001) nos presenta como ejemplo, se
observa que Newton consideraba un periodo de tiempo infinitesimal, y mediante el
producto de la fluxión por ese infinitesimal se define el incremento infinitesimal de la
fluente, a lo que llama el momento de la fluente. El momento de la fluente es entonces la
cantidad por la cual la fluente se incrementa en un periodo de tiempo infinitesimal,
asumiendo con Newton, como nos comenta Kleiner, que la velocidad instantánea se
mantiene constante en el transcurso de un intervalo de tiempo infinitamente pequeño y
multiplicando por tanto la velocidad por ese tiempo. El descartar algunos términos en
expresiones como las ocurridas en ese ejemplo (por la razón de ser infinitamente menores
que otros términos) es una cuestión que Newton intentó clarificar pero no ahí, sino en su
teoría de las últimas razones, la que provee rigor. Sin embargo, él compartía la creencia de
su época de que los matemáticos solamente estaban descubriendo el gran diseño
matemático de la naturaleza hecho por Dios. Lo anterior, además de su fuerte intuición y
las razonables soluciones que arrojaba la aplicación de su método, garantizaban su
proceder generando resultados. Newton afirmaba que sus fluxiones se explican
brevemente más que demostrarse ampliamente.
Arcos (2004) comenta que Newton indicó la existencia de dos tipos de problema
solamente en su Tratado de Métodos de Series y Fluxiones. Uno que daba lugar al Cálculo
Diferencial, y otro al Cálculo Integral y que expresa de la siguiente manera:
1. Dada de manera continua la longitud del espacio recorrido, esto es, en todo
instante de tiempo, encontrar la velocidad del movimiento en cualquier tiempo
propuesto.
2. Dada de manera continua la velocidad del movimiento, encontrar la longitud del
espacio descrito en cualquier tiempo propuesto (p. 87).
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