Salinas, P. (2010). - Repositorio Digital - Instituto Politécnico Nacional

f f
t y
tal que f t, y M 1
, habremos con ello logrado acotar el error de
t
truncamiento en el primer paso del Método de Euler: e 1 M 1
2
; a nuestro parecer,
este hecho se garantiza con la continuidad uniforme de las funciones involucradas.
Para ese primer paso (k=1) en el método de Euler, el error de truncamiento e 1 , es el
error, pero no lo es para los siguientes pasos. Se debe considerar el error total después de
k pasos como la diferencia entre la k-ésima aproximación de Euler, y k , y el valor exacto
yt k en el tiempo t k ; este error se denota por e k yt k y k .
Para ver la forma de lograr esta acotación, los autores se abocan a ilustrar el cálculo del
error en el segundo paso. Desafortunadamente, comentan, ya no estamos en la gráfica de
la solución yt y el cálculo del error se complica porque se tienen dos fuentes de error
en este segundo paso; una es el error por truncamiento y el otro lo acarrea el no conocer
exactamente el valor de yt1y partir de nuestro anterior cálculo y 1 .
y t , el error por truncamiento lo obtenemos al
Si conociéramos el valor exacto de
1
considerar el desarrollo en Serie de Taylor, teniendo que
t
y t y t y t t y
2 1 1 2
para algún 2 entre t 1 y t 2 , y donde yt 1 f t 1, yt 1
error por truncamiento en esta parte queda expresado por:
t
y
Pero el error que estamos buscando calcular es
de Euler, tenemos que ,
valor de yt2
2 2 2
y de y 2 :
e y t y
t
2 1 1 1
2
2
2
2
2
e y t y
2 2 2
2
por la ecuación diferencial. El
donde, por el Método
y y f t y t . Sustituímos en la expresión del error el
2
,
y t 1 y t 1 t y 2 y 1 f t 1 y 1 t
2
,
,
y t y f t y t f t y t y
1 1 1 1 1 1 2
,
,
t
y t y f t y t f t y t y
1 1 1 1 1 1 2
t
e 1 f t 1 , y t 1
f t 1 , y 1
t M 1
2
2
2
2
t
2
2
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