Salinas, P. (2010). - Repositorio Digital - Instituto Politécnico Nacional

(el reporte de casos de infección por día, el tiempo que dura infectada de cierta
enfermedad una persona, el número promedio de contactos por día entre personas
susceptibles e infectadas) ahondan en la idea de la razón a la cual está cambiando cada
una de las poblaciones S, I y R, por día, lo cual denotan como S’, I’, y R’. Se argumenta la
dependencia entre esas razones de cambio con respecto al tiempo y los valores de S, I y R
en ese tiempo para completar finalmente el modelo matemático expresado a través de las
ecuaciones de razón (así son nombradas):
S’= – aSI , I’= aSI – bI , R’= bI
donde se han introducido los parámetros a y b que son dependientes del tipo de
enfermedad que se está estudiando.
“El modelo es parte de la Matemática y sólo aproxima la realidad” (Callahan et al., 1994,
p. 10). Se basa en una interpretación simplificada de la epidemia y no coincide con la
realidad de manera exacta. Habiendo conectado la realidad con la Matemática, esto es,
habiendo construido un modelo, proponen ahora analizar el modelo a través de regresar a
la realidad interpretada desde las preguntas que matemáticamente nos responde el
modelo. Con ello se reflexiona en que los valores de las razones están cambiando
continuamente, y no se mantienen fijos por día, lo mismo ocurre con la variación de S, I y
R, lo que afecta y complica los cálculos hechos con el modelo. No obstante que en el
Capítulo 2 se desarrollan herramientas y conceptos que permiten superar algunos
problemas, en este Capítulo 1 se trabajan algunos ejemplos y se termina el mismo
abstrayendo del modelo S-I-R las ideas matemáticas de función, dominio, rango, gráficas,
funciones lineales y funciones de varias variables. Un último apartado considera el uso de
computadoras donde se provee del Programa SIR consistente de un código diseñado para
correr en computadora y cuyas instrucciones asemejan las operaciones que fueron hechas
a mano en algunos ejemplos.
En el Capítulo 2 se ve cómo construir una sucesión de estimaciones mejores cada vez que
nos permitan acercarnos tanto como se quiera a los valores exactos que calcula el modelo.
Esto se logra a través de recalcular todas las cantidades involucradas en el modelo
digamos, 10 veces por día, o 100 veces, o más aún, pues mientras los pasos del tiempo
sean más pequeños, las estimaciones calculadas se habrán mejorado. Para realizar los
cálculos se utilizará el Programa SIR dado en el primer capítulo. La clave del proceso reside
en observar que la razón S’ (ó I’, ó R’) provee del cambio (estimado) de S, denotado por
S , para un cambio dado t de t , de modo que S S t , relación que es válida
incluso para valores no enteros de t . Calculado este valor de S , se puede calcular un
nuevo valor (estimado) de S al agregarle S a su estimación actual.
Una vez que se trabajan las instrucciones para modificar el Programa SIR, en la
computadora, se generan datos que son reproducidos en el libro por medio de tablas de
valores, sobre las cuales se abocarán a buscar patrones de comportamiento. La
estabilización es una característica de la secuencia de datos calculados para S, I y R,
cuando se ha estado modificando el valor de t de 1, 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, etc.
Observan que el valor S(1) se establece con una exactitud de una cifra decimal porque
esta no cambia ya al disminuir más el valor de t establecido en la forma t = 10-N .
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