Salinas, P. (2010). - Repositorio Digital - Instituto Politécnico Nacional

En el Capítulo 2 se considera el Subtema 2.4: Método de Euler para Sistemas, el cual es en
esencia el mismo proceso que hemos expresado pero aplicado a un sistema de ecuaciones
diferenciales. La expresión del mismo queda como sigue:
Dado el sistema
dy
f x , y
dt ,
dy
g x y
dt
con condición inicial x , y
repitiendo los cálculos:
0 0
y tamaño de paso t , la aproximación de Euler se calcula
, y n g x , y
m f x y
k k k
k k k
x k1 x k m k t
y y k1 y k n k t
En el Capítulo 7, el subtema 7.1 trata sobre el error numérico en el Método de Euler y el
7.2 trata sobre una mejora al Método de Euler. El error es inevitable en la aplicación de
métodos numéricos, puede controlarse a través de reducir el tamaño del paso, pero esto
aumenta la cantidad de cálculos numéricos; se busca por tanto una compensación entre
exactitud y tiempo de cómputo. Es deseable tener una apreciación de la longitud a la que
hay que fijar el paso para que se alcance cierta exactitud. Los autores relacionan el error
en el primer cálculo (dado el primer paso) de y 1 con el resto del desarrollo en serie de
Taylor para yt 1 :
para algún 1 entre t 0 y 1
t
y t y t y t t y
1 0 0 1
t , y donde yt f t , y por la ecuación diferencial.
0 0 0
Así, la diferencia entre la primera aproximación de Euler, y 1 , y el valor exacto, yt 1 , de
t
la solución es: yt
y = y
denotaremos por e 1 .
1 1
2
2
1 que se le llama error de truncamiento y lo
2
Para calcular este error e 1 , no contamos con la solución de la ecuación diferencial yt ,
pero sabemos de ella lo que nos expresa esa ecuación diferencial, a saber:
dy
f t y f t y t
dt
, ,
de donde podemos calcular la segunda derivada utilizando la Regla de la Cadena:
2
d y
dt
2
f dt f dy f f
t dt y dt t y
2
,
f t y
Se puede acotar el error entonces si acotamos esta última expresión para los valores de
yt entre yt 0 y yt 1 . Si logramos encontrar una constante M 1 , válida a lo largo de
y t (o al menos en la zona donde la estamos considerando ahorita) de forma
la gráfica de
76