Salinas, P. (2010). - Repositorio Digital - Instituto Politécnico Nacional

Esto suponiendo que pudimos encontrar esa constante M 1 que funcione como cota para
la segunda derivada de la solución, como la encontramos en el primer paso. Siendo este el
caso entonces el error total después del segundo paso está acotado por el error total
después del primer paso, más el error por truncamiento asociado al segundo paso, y un
tercer término, f t 1 , yt 1
f t 1 , y 1
t
que estamos usando la pendiente 1, 1
pendiente f t , yt
en el punto ,
solución exacta.
1 1
que se toma en cuenta por el hecho de
f t y en el punto t1, y 1en
lugar de la
t y t que es la que corresponde a la curva de la
1 1
En este momento, los autores, en la búsqueda de una cota relativamente conveniente
f t , y t y f t , y considerando el valor
para 2
e , acotan la diferencia entre
máximo de la derivada parcial
,
f
y
1 1
1 1
a lo largo del segmento de recta entre ,
t y t y
1 1
t1 y 1 ya que estos dos valores de f provienen de puntos a lo largo de la recta t t1
Nuevamente es la continuidad de esa parcial la garantía de la existencia de la acotación
Por lo tanto, se obtiene la estimación
f t , y t f t , y M e
1 1 1 1 2 1
2 2
t t
e 2 e 1 M 2 e 1 t M 1 1 M 2 t e 1 M 1
2 2
Los autores afirman que el análisis del error total en el paso k-ésimo es esencialmente el
mismo que el recién hecho para el segundo paso, y la acotación queda expresada de la
siguiente manera.
.
Si 1 M es una cota para la segunda derivada a lo largo de la gráfica de la solución, y si 2 M
f
es una cota para la derivada parcial
y
, entonces el error e k está acotado por
e 1 M t e M
k 2 k11
t
t
donde esta fórmula recursiva incluye el término M 1
2
que toma en cuenta el error por
truncamiento en el k-ésimo paso, y el término 1M2 t e
k1
representa la magnificación
del error en el paso k-1 debido al hecho de que estamos calculando el lado derecho de la
t , y en vez de en el valor exacto del
ecuación diferencial en la aproximación de Euler k k
punto t , yt
de la solución.
k k
2
2
2
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