Salinas, P. (2010). - Repositorio Digital - Instituto Politécnico Nacional

ordenada. En este sentido puede afirmarse que el proceso de encontrar la derivada (razón
de cambio) es la idea básica, y la integral se define en términos de la derivada. Es difícil
precisar cómo pensaba Newton exactamente la razón instantánea de cambio, pero Boyer
sugiere que muy seguramente sea similar a la concepción de velocidad instantánea que
Galileo hizo tan familiar en su tiempo, aunque no fuera rigurosa, “en términos de la
distancia que es recorrida si el objeto en movimiento mantuviera su velocidad instantánea
por un periodo de tiempo dado” (Gravemeijer y Doorman, 1999, p. 124). La contribución
de Newton fue más bien el facilitar los cálculos y no el clarificar las concepciones.
Un elemento significativo del trabajo de Newton fue “el hecho de que aplicaba el método
‘directamente e invertidamente’, como él decía” (Boyer, 1949, p. 192). No es nuestro
objetivo aquí el reproducir el método, que es importante decirlo, incluye el uso de su
teorema del binomio; nuestro interés es más bien dejar evidencia de cómo Newton
antepone su idea de razón de cambio instantánea del área de un modo intuitivo y
resuelve a través de ella el cálculo del área. En la aplicación de su método para demostrar
m
n
mn n , Boyer observa
n
que el área bajo la curva y a x está dada por Y a x
mn cierta insinuación de considerar la ordenada de la curva como representando a la
velocidad del área, la cual se interpreta dinámicamente creciendo con respecto al tiempo
que a su vez está representado en el eje x. Haya o no sido de esta manera, esto nos
sugiere que en un acercamiento newtoniano la integración tiene sentido hacerla en
derivadas de funciones y no en funciones, y su objetivo es recuperar la magnitud (función)
de la que se conoce su razón de cambio con respecto al tiempo (derivada).
Para Newton era un hecho que si el área es
y a x
m
n
, y a la inversa, si la curva es
m
n
n
Y a x
mn mn n
, entonces la curva es
n
y a x , entonces el área es Y a x
mn mn n
Recuperado en términos formales (de funciones), el resultado de Newton establece que:
si la función es
si la derivada es
n
Y a x
m n
m
n
mn n
entonces su derivada es
y a x entonces la antiderivada es
y a x
m
n
n
Y a x
mn “El Teorema Fundamental del Cálculo —la comprensión de que la acumulación de una
cantidad y la razón de cambio de su acumulación están herméticamente relacionadas— es
uno de los sellos intelectuales en el desarrollo del Cálculo” (Thompson, 1994a, p. 236). En
palabras de Richard Courant, comenta Thompson, “la idea raíz de todo el cálculo
diferencial e integral”, hizo posible el desarrollo algorítmico de lo que ahora conocemos
como Cálculo.
Estar conscientes de esta idea cambia nuestra perspectiva de la ubicación de este teorema
en el discurso escolar del Cálculo. Podríamos ambicionar que esta idea raíz se convirtiera
didácticamente en la plataforma para el desarrollo del pensamiento variacional, de este
mn n
.
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