Salinas, P. (2010). - Repositorio Digital - Instituto Politécnico Nacional

El valor verdadero de S(1) emerge a través del proceso que genera una secuencia
de aproximaciones sucesivas. Decimos que S(1)= 44255.4... es el límite de esta
sucesión cuando t se vuelve más y más pequeño o, equivalentemente, cuando N
se hace más y más grande. Decimos también que la sucesión de aproximaciones
sucesivas converge al límite S(1) (Callahan et al., 1994, p. 67).
Los autores resaltan la importancia del concepto de límite, del cual se dará
posteriormente una definición, pero ahora trabajan con él en contextos para comenzar a
desarrollar algunas intuiciones de lo que son, ya que, como dicen, los matemáticos lo
usaron libremente por más de un siglo antes de tener una definición rigurosa
desarrollada. Enseguida se abocan a generar gráficos de los datos obtenidos a medida que
se disminuye el valor de t , para ello dan instrucciones de modificar el Programa SIR.
Primeramente se grafican puntos para observar que la disminución de t produce más
puntos que hacen que el dibujo de los mismos asemeje a una curva continua. Proponen
luego un cambio en el Programa para conectar esos puntos con segmentos de recta, con
lo que se expresa gráficamente la suposición de que la función S(t) es lineal por trozos, es
decir, cambia a razón constante en cada intervalo de longitud t .
Finalmente, los autores tratan el tema de aproximación versus exactitud tomando en
cuenta que haya cierto malestar en los estudiantes al asociar tanto esfuerzo para sólo
obtener una aproximación de, digamos S(3), y no su valor exacto, o de obtener solamente
una sucesión de funciones lineales por trozos y no tener la función “real”. Comparan el
sentido de decir “conozco” el valor S(3) como cuando se dice que se conoce un número
como 2 ó . Existen dos aspectos distintos en la forma de conocer un número; por un
lado, se le puede caracterizar, así como 2 es un número que elevado al cuadrado es 2, o
es la razón entre la circunferencia y el diámetro de un círculo. Pero por otro lado se
conoce al tratar de construir una expresión decimal del número, lo cual sabemos que es
imposible de realizar en forma completa con estos dos ejemplos, aunque podemos
aproximarles. De la misma manera, argumentan, se tiene caracterizado el número S(3), y
podemos construir aproximaciones de su valor numérico con el grado de precisión que
queramos.
Refieren como el Método de Euler a este proceso para obtener una función a través de
construir una sucesión de mejores aproximaciones de ella. Este proceso prolongable a un
número arbitrario de pasos lo asocian al interés de Leonhard Euler (1707, 1783) ante el
problema general de encontrar funciones determinadas por un conjunto de ecuaciones de
razones, en 1768 propone este método para aproximarlas.
Hemos podido constatar que la forma en que este Método se utiliza en la propuesta de
Cálculo en Contexto responde a la convicción de los autores de introducir el objetivo
curricular de tratar con sistemas de ecuaciones diferenciales como objetos de estudio
fundamentales y dar a los métodos numéricos un rol central. El resolver numéricamente
ecuaciones diferenciales adquiere un lugar legítimo en su curso de Cálculo, lo cual es
posible por la habilidad en el manejo de datos y la realización de cálculos con que la
tecnología ha impactado nuestro medio. El poder tratar con modelos creíbles hace que la
modelación adquiera además un papel más notorio en el discurso.
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