Termodinamica - Yunes Cengel y Michael Boles - Septima Edicion

pueden ser sustituidas por diferencias, siempre que sea necesario, para obtener
resultados aproximados. El método numérico de diferencias finitas que se
usa comúnmente se basa en este sencillo principio.
z
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CAPÍTULO 12
( )
y
Diferenciales parciales
Considere ahora una función que depende de dos (o más) variables, como
z z(x, y). Esta vez el valor de z depende tanto de x como de y. Algunas veces
se desea examinar la dependencia de z respecto de una sola de las variables.
Esto se hace dejando que una variable cambie mientras las otras se mantienen
constantes y observando el cambio en la función. La variación de z(x, y) con
x cuando y se mantiene constante se llama derivada parcial de z respecto a x,
y se expresa como
a 0z
0x b y
¢z
lím a
¢xS0 ¢x b z 1x ¢x, y2 z 1x, y2
lím
y
¢xS0 ¢x
(12-2)
x
FIGURA 12-3
Representación geométrica de la derivada
parcial (0z/0x) y .
y
Esto se ilustra en la figura 12-3. El símbolo 0 representa cambios diferenciales,
del mismo modo que el símbolo d. Ellos difieren en que el símbolo d
representa el cambio diferencial total de una función y refleja la influencia
de todas las variables, en tanto que 0 representa el cambio diferencial parcial
debido a la variación de una sola variable.
Note que los cambios indicados por d y 0 son idénticos para variables independientes,
pero no para variables dependientes. Por ejemplo, (0x) y dx pero
(0z) y dz. [En nuestro caso, dz (0z) x (0z) y .] Observe también que el valor
de la derivada parcial (0z/0x) y , en general, variará con distintos valores de y.
Para obtener una relación del cambio diferencial total en z(x, y) para cambios
simultáneos en x y y, considere una pequeña parte total en z(x, y) mostrada
en la figura 12-4. Cuando las variables independientes x y y cambian en
x y y, respectivamente, la variable dependiente z cambia en z, que puede
expresarse como
x
z
z(x, y) z(x + Δx, y + Δy)
y
x, y + Δy
x + Δx, y
x + Δx, y + Δy
z z x x, y y z x, y
Si se suma y resta z(x, y y), se obtiene
z z x x, y y z x, y y z x, y y z x, y
FIGURA 12-4
Representación geométrica de la derivada
total dz para una función z(x, y).
o
z
z x x, y y z x, y y
x
x
z x, y y z x, y
y
y
Tomando en cuenta los límites cuando x → 0 y y → 0 y utilizando las
definiciones de derivadas parciales, se obtiene
dz
z
x dx
y
z
y dy
x
(12-3)
La ecuación 12-3 es la relación fundamental para la diferencial total de una
variable dependiente en términos de sus derivadas parciales respecto de variables
independientes. Esta relación puede expresarse fácilmente para incluir
más variables independientes.