Termodinamica - Yunes Cengel y Michael Boles - Septima Edicion

Relaciones de derivadas parciales
Ahora se reescribe la ecuación 12-3 como
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CAPÍTULO 12
dz M dx N dy
(12-4)
donde
M
z
x y
y N
z
y x
Al tomar la derivada parcial de M respecto a y, y de N con respecto a x, se
obtiene
M
y x
2 z
x y
y
N
x y
2 z
y x
El orden de la derivación no tiene importancia para las propiedades, dado que
son funciones de punto continuas y tienen derivadas exactas. Por consiguiente,
las dos relaciones anteriores son idénticas:
M
y x
N
x y
(12-5)
Ésta es una relación importante para las derivadas parciales, y se emplea en
cálculo para probar si una diferencial dz es exacta o inexacta. En termodinámica,
esta relación representa la base para el desarrollo de relaciones de
Maxwell, que se estudian en la sección siguiente.
Por último, se desarrollan dos relaciones importantes para las derivadas
parciales: relaciones de reciprocidad y cíclica. La función z z(x, y) también
se expresa como x x(y, z) si y y z se toman como variables independientes.
En ese caso, la dierencial total de x se convierte, a partir de la ecuación 12-3,
en
dx
x
y dy
z
x
z dz
y
Si se elimina dx al combinar las ecuaciones 12-3 y 12-6, se obtiene
(12-6)
dz
z
x x
y y z
z
y dy
x
x
z z
y x dz
y
Al reacomodar,
z
x x
y y z
z
y dy 1 x
x
z z
y x dz
y
(12-7)
Las variables y y z son independientes entre sí y, en consecuencia, pueden
variar de forma independiente. Por ejemplo, y puede mantenerse constante
(dy 0), y z puede variar sobre un intervalo de valores (dz ≠ 0). Para que
esta ecuación siempre sea válida, los términos entre corchetes deben ser iguales
a cero, sin que importen los valores de y y z. Al igualar a cero los términos
en cada corchete se obtiene
x
z z
y x y
1 x
z y
1
zx y
(12-8)
z
x x
y y z
x
y x
x y y
z z z
x x y
1
(12-9)