Meccanica Quantistica

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ds Figura 2.2: Illustrazione dell’emissione e dell’ assorbimento di un elemento di superficie ds polarizzata. Sempre all’equilibrio si dovrà avere compensazione tra energia assorbita ed energia emessa e quindi da cui EνdνdsdtdΩ = AνuνdνdsdtdΩ (2.4) Eν = Aνuν (2.5) Segue dunque che sebbene Eν ed Aν dipendano dal corpo considerato, il loro rapporto ne è indipendente. Per misurare uν si può far ricorso ad un corpo per il quale il potere assorbente sia uguale ad 1. Questo corpo idealizzato totalmente assorbente è quello che si chiama il corpo nero. Segue dall’equazione precedente che uν altro non è che il potere emissivo del corpo nero. Sperimentalmente un corpo nero può Figura 2.3: Illustrazione del corpo nero essere realizzato con il dispositivo mostrato in Fig. 2.3. Cioè tramite un involucro a pareti molto assorbenti e con un piccolo foro. La radiazione viene intrappolata all’interno della cavità e durante le riflessione multiple assorbita in modo pressoché totale. Dunque il forellino è capace di assorbire tutta la radiazione in arrivo 7
iemettondone una quantità trascurabile. Tramite un’analisi spettroscopica della radiazione in uscita si determina Eν. La densità di energia e.m. nella cavità, ρν, risulta proporzionale ad uν ρν = 8π (2.6) Il principio di relatività e la termodinamica permettono di dimostrare che la densità di energia, pur essendo una funzione di due variabili, ne dipende in modo estremamente particolare (legge di Wien) ρν = ν 3 F c uν ν T (2.7) Cioè il rapporto ρν/T 3 dipende solo dal rapporto ν/T e non dalle due variabili separatamente. La funzione F deve essere determinata usando le proprietà del campo e.m. e vedremo in seguito come fare. Per il momento diciamo che il calcolo classico dà come risultato la formula di Rayleigh e Jeans ρν = 8πk c3 ν2T = ν 3 8πk c3 T (2.8) ν dove k è la costante di Boltzmann k = 1.381 × 10 −23 JK −1 (2.9) Questa formula è in contrasto clamoroso con i dati sperimentali, eccetto per la regione di piccole frequenze. Infatti se riportiamo in grafico i dati sperimentali per ρν/T 3 in funzione di x = ν/T, si ottiene la curva in Fig. 2.4. Mentre i dati mostrano che la funzione tende a zero per grandi valori di x la soluzione di Rayleigh e Jeans (equazione (2.8)) diverge. In ogni caso la legge di Wien permette di dedurre una certa quantità di informazioni generali sul corpo nero, senza necessità di determinare la funzione F. Per esempio una semplice conseguenza è la legge dello spostamento di Wien, che dice che la frequenza alla quale si ha la massima emittività aumenta linearmente con la temperatura. Infatti il massimo in frequenza è determinato dalla condizione dρν = 0 (2.10) dν cioè d ν dν 3 ν F = 0 (2.11) T o semplificando ed introducendo la variabile x = ν/T 3F(x) + xF ′ (x) = 0 (2.12) Questa equazione fissa in maniera univoca la posizione del massimo in x, x = x0, e quindi il massimo in frequenza sarà dato da ν = x0T (2.13) 8
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4.3 La notazione di Dirac Dirac ha
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Vediamo dunque che Inoltre si ha an
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utilizzare il procedimento di Gram-
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Un esempio un pò più complesso è
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4.6 Elementi di matrice di un opera
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Vediamo che n Pi = I (4.109) i=1 In
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Questa decomposizione è analoga al
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4.8 Il problema agli autovalori Com
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D’altra parte, come mostreremo, n
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Prendendo l’equazione aggiunta si
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4.9.1 Il caso degenere Per capire c
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il ket corrispondente, avremo |ω =
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Se definiamo n vettori V (k) con co
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Notare che A non è né hermitiana
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da cui B|ai, α〉 ∈ V mi ai (4.2
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Da cui che ha soluzione 3v1 + v2 +
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da cui La condizione di normalizzaz
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a b x x 1 2 Figura 4.7: Il sistema
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Se adesso espandiamo il vettore |x(
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corrisponde a uno stato in cui le d
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Pertanto l’operatore e A risulta
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con C costante di integrazione. Evi
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Cioè questi vettori formano un sis
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Da questa segue Pertanto si dovrà
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f ε(x) ε Figura 4.11: Esempio di
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g(x-x') ' Δ x _ Δ 2 1/2 x x Figur
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Nello spazio infinito-dimensionale
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segue 〈x|K|x ′ 〉〈x ′ |k
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Pertanto 〈k|X|g〉 = i dg(k) (4.4
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Si ha |B| 2 L 2 L = |B| 2π 2 L =
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Pertanto se A è diagonalizzabile a
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misura il sistema viene proiettato
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v) - Se vogliamo informazioni relat
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In questo caso adotteremo la prescr
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misurando, lo stato del sistema rim
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5.3 Come si verifica la teoria quan
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Esercizio: Dati i seguenti operator
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e inoltre P(Lx = 0) = |〈Lx = 0|ψ
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5.5 Variabili compatibili e incompa
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spazio con Λ avente un autovalore
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e quindi ψ( x) a Figura 5.1: La fu
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Pertanto ψ(p) = 〈p|ψ〉 = 〈
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Pi|ψ〉 ⇔ 〈x1, · · · , xn|P
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Nel caso di una particella di caric
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soddisfa l’equazione di Schrödin
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In questo caso si ha base |p〉 bas
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e inoltre p = ± √ 2mE (6.7) Abbi
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Osserviamo anche che nella base del
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Se calcoliamo la densità di probab
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Consideriamo una particella confina
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In ogni caso 2 h/ n En = 2m 2π2 L2
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Possiamo dividere l’asse delle x
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Come sappiamo dobbiamo imporre la c
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dove ρ è la densità di carica, p
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6.4 Un problema di diffusione: il g
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V V(x) xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx
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Pertanto le due soluzioni descrivon
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Assumiamo (sempre nel caso unidimen
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Ma a causa del principio di indeter
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mentre le osservabili diventano dip
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Pertanto nella base |˜x〉 gli ope
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Una particella nell’intorno di x0
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da cui La soluzione generale è ˙p
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8.1 La soluzione dell’equazione d
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Notiamo che con da cui bk+2 bk = e
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Ci sono alcuni punti importanti da
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Richiedendo che +x0 P(x)dx = 1 (8.
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A questo fine si introducono due op
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e scegliendo cn reale e Applicando
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con A determinata dalla normalizzaz
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Capitolo 9 Il principio di indeterm
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vale a dire che integrata dà dψ(x
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Capitolo 10 Sistemi con N gradi di
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Vediamo dunque che per spazi vettor
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I coefficienti dell’espansione di
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Dividendo per ψE1(x1)ψE2(x2) si h
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10.3 Più particelle in più dimens
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sono identiche. D’altra parte, in
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10.5 Spazi di Hilbert per bosoni e
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Nel caso fermionico tutto procede a
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In questo caso la distribuzione mis
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Capitolo 11 Simmetrie Nel caso clas
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L’azione di T(ǫ) su uno stato qu
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dato che una traslazione di a + ǫ
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Questo implica che se a t = 0 il si
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ipetere lo stesso esperimento in un
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Gli autovettori di Π con autovalor
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si ha 2 Pertanto Pertanto da cui
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Da cui Questa condizione è soddisf
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L’equazione di Schrödinger stazi
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11.6 Rotazioni in tre dimensioni Pr
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Inoltre se il sistema è invariante
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con analoga condizione di positivit
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da cui |〈j, m ′ |J+|j, m〉| 2
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Da queste ultime si ricavano le esp
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da cui J k − e imφ f(θ) d k =
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che ha la proprietà [r, Pr] = ih/
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Come vedremo in un momento il secon
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e il suo aggiunto d † d ℓ + 1
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Ovviamente questo stesso problema i
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con ET = ECM + E (12.8) Mentre la p
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Da u ′ ℓ = ρu ′′ ℓ = ∞
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e quindi a = 2Z n La variabile adim
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I livelli energetici sono determina
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L’approssimazione WKB consiste ne
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problema di connettere le soluzioni
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Se si considera un moto periodico,
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Capitolo 14 Teoria delle perturbazi
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Ponendo a zero i coefficienti di ug
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e ricordando che si ha X = h/ 2mω
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Pertanto Esf + E 1 = − Z2 e 2 a0
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o β 0 〈n , α|H1|n 0 , β〉
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Capitolo 15 Momento angolare intrin
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Chiaramente si ha e σ 2 = 4 J 2 =
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Dunque l’azione dell’operatore
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e proiettando sulla base |x; j, m
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Consideriamo adesso il caso di un c
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In realtà l’espressione corretta
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separatamente. Dunque l’autovalor
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e applicare a entrambi i membri l
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15.3 Operatori tensoriali Abbiamo g
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15.3.1 Il teorema di Wigner-Eckart
show all

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