Meccanica Quantistica

espandono nella base |x〉 con componenti f(x) = 〈x|f〉 si potranno espandere anche
nella base |k〉. Infatti si ha
f(k) = 〈k|f〉 = 〈k|x〉〈x|f〉dx = 1
√ e
2π
−ikx f(x)dx (4.461)
e viceversa
f(x) = 〈x|f〉 =
〈x|k〉〈k|f〉dk = 1
√
2π
e ikx f(k)dk (4.462)
Abbiamo dunque ritrovato per questa via le formule familiari dell’espansione di
Fourier. Nella base |k〉 gli elementi di matrice di K sono ovviamente banali
〈k|K|k ′ 〉 = k ′ 〈k|k ′ 〉 = k ′ δ(k − k ′ ) (4.463)
Visto che la base |k〉 è data dagli autovettori di K ci possiamo chiedere se i
vettori |x〉 sono autovettori di un qualche operatore. Questo operatore può essere
appunto definito in termini dei suoi autovettori dalla relazione
con elementi di matrice
È interessante calcolare l’azione di X sulle funzioni
Si ha
Pertanto
e
〈x|X|f〉 =
〈x|X|x ′ 〉〈x ′ |f〉dx ′ =
X|x〉 = x|x〉 (4.464)
〈x ′ |X|x〉 = xδ(x − x ′ ) (4.465)
X|f〉 = | ˜ f〉 (4.466)
x ′ δ(x − x ′ )f(x ′ )dx ′ = xf(x) (4.467)
˜f(x) = xf(x) (4.468)
X|f〉 = |xf〉 (4.469)
Esiste una interessante relazione tra gli operatori X, che equivale a moltiplicare una
funzione per il valore di x, cioè il valore della coordinata alla quale è calcolata, e
l’operatore K, l’operatore di differenziazione rispetto a x. Questa relazione si può
trovare considerando gli elementi di matrice di X tra autostati di K
〈k|X|k ′ 〉 = 1
2π
e −ikx xe ik′ x dx = i d
dk
113
1
2π
e i(k′
− k)x
dx
= i d
dk δ(k − k′ )
(4.470)