Meccanica Quantistica

Vediamo dunque che per spazi vettoriali finito-dimensionali si ha
dim(V1 ⊗ V2) = dimV1 · dimV2
(10.15)
Osserviamo anche che il prodotto diretto di due spazi è cosa diversa dalla somma
diretta per cui vale invece
dim(V1 ⊕ V2) = dimV1 + dimV2
Il prodotto interno in V1 ⊗ V2 è definito da
(10.16)
(〈x ′ 1| ⊗ 〈x ′ 2|)(|x1〉 ⊗ |x2〉) = 〈x ′ 1|x1〉〈x ′ 2|x2〉 = δ(x ′ 1 − x1)δ(x ′ 2 − x2) (10.17)
mentre la relazione di completezza diviene
dx1dx2(|x1〉 ⊗ |x2〉)(〈x1| ⊗ 〈x2|) = I (1) ⊗ I (2)
(10.18)
Estenderemo adesso gli operatori X (i)
i operanti sugli stati di particella singola ad operatori
che agiscono sullo spazio prodotto tensoriale. Questi nuovi operatori saranno
denotati da
X (1)⊗(2)
i
Un modo per definire questi operatori è di richiedere che ad esempio
(10.19)
X (1)⊗(2)
1 (|x1〉 ⊗ |x2〉) = x1(|x1〉 ⊗ |x2〉) (10.20)
Quindi possiamo definire l’azione sul prodotto diretto come
X (1)⊗(2)
1 (|x1〉 ⊗ |x2〉) = (X (1)
1 |x1〉) ⊗ (I (2) |x2〉) (10.21)
Cioè X (1)⊗(2)
1 agisce di fatto solo sul primo ket. Più generalmente, dati due operatori
A (1) e B (2) che agiscono rispettivamente in V1 e V2, possiamo definire il loro prodotto
diretto come
(A (1) ⊗ B (2) )|x1〉 ⊗ |x2〉 = (A (1) |x1〉) ⊗ (B (2) |x2〉) (10.22)
Dunque potremo scrivere
X (1)⊗(2)
1
In modo analogo si ha, per esempio
P (1)⊗(2)
2
= X (1)
1 ⊗ I (2)
= I (1) ⊗ P (2)
2
(10.23)
(10.24)
L’algebra degli operatori agenti su un dato spazio vettoriale si può estendere al
prodotto diretto
(A (1) ⊗ B (2) ) · (C (1) ⊗ D (2) ) = (A (1) C (1) ) ⊗ (B (2) D (2) ) (10.25)
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