Meccanica Quantistica

in modo da avere una normalizzazione analoga al caso unidimensionale
ρdρ|R(ρ)| 2
= dρ|χE,m(ρ)| 2
(11.134)
Si ha poi
∂2
∂
∂ρ2R(ρ) =
∂ρ
− 1
2
1 ∂χ
+
ρ3χ √
ρ ∂ρ
= 3 1 1 ∂χ 1 ∂
χ − + √
4 ρ5 ρ3 ∂ρ ρ
2χ ∂ρ2 (11.135)
e quindi l’equazione di Schrödinger diventa
2 2 h/ ∂
−
2µ ∂ρ2 − m2 − 1/4
ρ2
+ V (ρ) χE,m(ρ) = EχE,m(ρ) (11.136)
Vediamo che il problema così posto si presenta come un problema unidimensionale
con le seguenti modifiche del potenziale. Innanzitutto dato che ρ ≥ 0 e che si ha
continuità della R(ρ) in ρ = 0, segue
χ(ρ = 0) = 0 (11.137)
Questo, insieme con il fatto che la regione per ρ < 0 non è permessa, può essere
interpretato come se ci fosse una barriera di potenziale infinita nell’origine. Inoltre
per ρ > 0 il potenziale si modifica con l’aggiunta di un termine di potenziale
centrifugo repulsivo
V(ρ) = V (ρ) +
2
h/
2µρ2
m 2 − 1
4
(11.138)
Infatti l’ultimo termine, a parte il fattore 1/4 che deriva da problemi di riordinamento
e che comunque è trascurabile nel limite classico di grandi m, si interpreta
come
L2 z
2µρ2 (11.139)
Se si considera una particella in moto su una circonferenza nel piano, il suo momento
angolare è dato da
Lz = pρ = µvρ = µωρ 2
(11.140)
e sostituendo
che è proprio il potenziale centrifugo.
L2 z 1
=
2µρ2 2 µω2ρ 2
237
(11.141)