Meccanica Quantistica

la funzione d’onda nello spazio ω o anche l’ampiezza di probabilità per
ottenere ω dalla misura di Ω. È ovvio che non possiamo interpretare |〈ω|ψ〉|2 come
una probabilità dato che ω assume infiniti valori e vogliamo una probabilità totale
uguale ad uno. Interpreteremo dunque P(ω) = |〈ω|ψ〉| 2 come una densità di
probabilità. Cioè
P(ω)dω = probabilità di trovare un risultato compreso tra ω e ω + dω
Con questa definizione, se |ψ〉 è normalizzata a uno si ha
P(ω)dω = 〈ψ|ω〉〈ω|ψ〉dω = 〈ψ|ψ〉 = 1 (5.38)
quindi probabilità totale uguale ad uno. Se invece |ψ〉 non è normalizzabile allora
P(ω) va pensata come una densità di probabilità relativa. Un esempio importante
è quello dell’operatore X di posizione. La funzione d’onda nello spazio delle x si
chiama semplicemente la funzione d’onda. Osserviamo anche che una particella
classica ha una posizione definita, mentre una particella quantistica può assumere
qualunque posizione e quindi |ψ(x)| 2 rappresenta la densità di probabilità per trovare
la particella al punto x. In fisica classica dobbiamo specificare anche l’impulso per
definire completamente lo stato di una particella, invece in meccanica quantistica si
dà la densità di probabilità per ottenere un dato valore dell’impulso. Ancora, questa
non è una ulteriore informazione, infatti tale densità si ottiene sempre dal vettore
di stato |ψ〉 proiettando nella base |p〉, cioè da 〈p|ψ〉 = ψ(p).
La variabile Ω non ha analogo classico. Ci sono vari casi importanti in cui
non si ha analogo classico. Un esempio è lo spin dell’elettrone. In queste situazioni
occorre affidarsi all’intuizione e ad analogie, non dimenticando il confronto con i dati
sperimentali.
5.2 Il collasso del vettore di stato
Abbiamo visto nel postulato 3) che il processo di misura cambia, in generale, lo
stato del sistema. Infatti se misuriamo l’osservabile Ω e |ωi〉 sono i suoi autovettori,
lo stato del sistema, che prima della misura era
|ψ〉 =
|ωi〉〈ωi|ψ〉 (5.39)
i
viene proiettato nell’autovettore corrispondente all’autovalore ωi determinato dal
processo di misura
|ψ〉 =⇒
misura|ωi〉 (5.40)
Occorre puntualizzare che in questo caso si intende di effettuare una misura ideale.
Misura ideale significa che se la si effettua su un autostato dell’osservabile che si sta
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