Meccanica Quantistica

problema di connettere le soluzioni nel passaggio da una regione all’altra. Tanto per
fissare le idee consideriamo la situazione rappresentata in Fig. 13.1. Nella regione I,
E > V (x) e la soluzione sara’ del tipo (13.15). Mentre nella regione II la soluzione
sarà del tipo (13.16).
Il procedimento generale per raccordare queste due soluzioni e’ abbastanza complesso,
quindi noi ci limiteremo ad accennarlo e daremo poi la soluzione senza dimostrazione.
Quello che si deve fare e’ di trovare una soluzione dell’equazione di
Schrödinger in vicinanza del turning point, x = a, tramite uno sviluppo in serie a del
potenziale attorno a quel punto. Questa espansione deve essere tale da valere sino a
valori di x tali che WKB risulti una buona approssimazione in entrambe le regioni.
Confrontando poi la soluzione dell’equazione di Schrödinger con le soluzioni WKB
nelle due regioni attorno ad x = a, si trovano le condizioni desiderate. Il risultato
di questo calcolo e’ il seguente:
Regione proibita x < a →
a
1
1 − |p(x
e h/ x
|p(x)|
Regione permessa x > a
′ )|dx ′
→
x
2 1
cos
|p(x)| h/ a
Regione proibita x > a →
x
1
− 1
|p(x
e h/ a
|p(x)|
Regione permessa x < a
′ )|dx ′
→
a
2 1
cos
|p(x)| h/
x
|p(x ′ )|dx ′ − π
4
|p(x ′ )|dx ′ − π
4
(13.17)
(13.18)
Queste formule vanno intese nel seguente senso. Se noi conosciamo la funzione WKB
nella regione proibita, questa si estende alla funzione WKB nella regione permessa
seguendo il senso della freccia. Notiamo la differenza delle regioni di integrazione a
seconda che il potenziale decresca nell’intorno del turning point (prima caso), oppure
diminuisca.
Occorre anche considerare il caso in cui si abbia una barriera di potenziale finita,
come per esempio il caso di scattering. In queste condizioni la zona proibita ha una
larghezza finita e al suo interno si possono avere sia soluzioni esponenzialmente decrescenti
che esponenzialmente crescenti. Nel caso particolare di soluzioni crescenti
si hanno le seguenti formule di raccordo
Regione permessa x > a →
x
i
Regione proibita x < a
a
1
1
eh/
|p(x)|
a
1
eh/
|p(x)|
x
|p(x ′ )|dx ′ + i π
4 →
|p(x ′ )|dx ′
Regione permessa x < a → Regione proibita x > a
a
i
1 |p(x
eh/
x
|p(x)| ′ )|dx ′ + i π
x
1
4 1
→ eh/
a
|p(x)|
|p(x ′ )|dx ′
(13.19)
(13.20)
Anche in questo caso le condizioni di raccordo vanno lette come quelle precedenti.
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