Meccanica Quantistica

Dunque si trova
y ′′
ℓ −
ℓ(ℓ + 1)
ρ2
λe2 1
− + yℓ = 0 (12.16)
ρ 4
Come fatto in altri casi studiamo l’andamento per grandi ρ. Avremo
ρ → ∞ : y ′′
ℓ − 1
4 yℓ = 0 (12.17)
La soluzione da scegliere per avere una soluzione normalizzabile è
Ponendo
si ha
da cui
y ′ ℓ
y ′′
ℓ
yℓ → e −1
2 ρ
yℓ = e −1
2 ρ vℓ
= −1
2 e−1 2 ρ vℓ + e −1
2 ρ v ′ ℓ
1
=
4 e−1 2 ρ vℓ − e −1
2 ρ v ′ ℓ + e−12
ρ v ′′
ℓ
(12.18)
(12.19)
(12.20)
v ′′
ℓ − v ′ ℓ(ℓ + 1)
ℓ −
ρ2 vℓ + λe2
ρ vℓ = 0 (12.21)
Come abbiamo visto la soluzione dell’equazione radiale ridotta ha un andamento di
tipo r ℓ+1 nell’origine. Porremo dunque
vℓ = ρ ℓ+1 uℓ
(12.22)
In questo modo abbiamo una funzione che ha un corretto comportamento sia nell’origine
che all’infinito, se la uℓ è regolare nell’origine e non diverge esponenzialmente
all’infinito. Si ha
e sostituendo
v ′ ℓ = (ℓ + 1)ρ ℓ uℓ + ρ ℓ+1 u ′ ℓ
v ′′
ℓ = ℓ(ℓ + 1)ρ ℓ−1 uℓ + 2(ℓ + 1)ρ ℓ+1 u ′ ℓ + ρ ℓ+1 u ′′
ℓ
(12.23)
ρu ′′
ℓ + 2(ℓ + 1)u ′ ℓ − ρu ′ ℓ − (ℓ + 1)uℓ + λe 2 uℓ = 0 (12.24)
A questo punto espandiamo la uℓ in una serie di potenze in ρ
uℓ =
∞
k=0
259
ckρ k
(12.25)