Meccanica Quantistica

se f(x) e’ una funzione lineare, come per l’oscillatore armonico. Con una serie di
argomentazioni Heisenberg riusciva a mostrare che se
allora
x → xnm
x 2 → x 2
nm =
r
xnrxrm
E’ allora chiaro come si ottengono le potenze successive, per esempio
= x 2 nrxrm =
x 3 nm
r
rs
xnmxrsxsm
e cosi via. Heisenberg noto’ anche che in generale
(xy)nm =
xnryrm = (yx)nm =
r
r
ynrxrm
(2.118)
(2.119)
(2.120)
(2.121)
Subito dopo il lavoro di Heisenberg, il 27 Settembre 1925, Born e Jordan, notarono
che le quantita’ del tipo xnm possono essere pensate come gli elementi di una
matrice (che indicheremo con X) e che la regola di prodotto data in (2.119) altro
non e’ che il prodotto righe per colonne di due matrici. Questi autori furono anche
in grado di dimostrare che le matrici associate alle variabili classiche x e p soddisfano
la seguente regola (regola di commutazione)
[X, P]− ≡ XP − PX = ih/ (2.122)
Poco piu’ di un mese dopo, il 7 Novembre 1925 Dirac arrivava alla stessa regola di
commutazione per via completamente indipendente. Inoltre Dirac mostrava che la
matrice X (oggi detta operatore di posizione) soddisfa l’equazione
˙X = − i
[X, H] (2.123)
h/
dove H = H(X, P) e’ l’hamiltoniana espressa in termini delle matrici X e P e
quindi una matrice essa stessa. Dirac notava anche l’analogia che esiste tra questa
equazione e l’equazione di Hamilton per la x
˙x = {x, H} (2.124)
qualora si mettano in corrispondenza il commutatore −i[X, H]/h/ con la parentesi
di Poisson {x, H}. Dirac il 7 Novembre 1925 e pochi giorni dopo, il 16 Novembre,
Heisenberg, Born e Jordan lasciarono perdere la strada originale di Heisenberg concentrandosi
invece sulla formulazione di una nuova meccanica in cui le variabili di
posizione e di impulso non fossero numeri ordinari ma matrici non commutanti tra
loro. Questi autori fornirono la prima trattazione completa della meccanica delle
matrici.
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