Meccanica Quantistica

4.13 Derivata di un operatore rispetto a un parametro
Consideriamo un operatore A(λ) dipendente da un parametro λ. Definiamo la
derivata dell’operatore rispetto al parametro il limite
dA(λ)
dλ
A(λ + ∆λ) − A(λ)
= lim
∆λ→0 ∆λ
(4.360)
Dato che le operazioni a secondo membro sono ben definite, se il limite esiste, la
derivata è perfettamente definita. Come esempio consideriamo
A(λ) = e λB
con B hermitiano. In una base di autovettori
dA(λ)
dλ
⇔
⎛
e
⎜
d
⎜
dλ ⎜
⎝
λω1
·
·
·
eλωn ⎞ ⎛
ω1e
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ = ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
λω1
·
·
·
⎞
ωneλωn ⎟
⎠
(4.361)
= BA(λ) = A(λ)B (4.362)
Pertanto
d
dλ eλB = BA(λ) = A(λ)B (4.363)
Se B non è hermitiano ma la serie esiste, possiamo calcolare la derivata tramite la
rappresentazione per serie
d
dλ eλB = d
dλ
=
∞
n=0
∞
n=0
1
n! λn B n =
∞
n=0
1
(n − 1)! λn−1 B n =
1
n! λn B n+1 = BA(λ) = A(λ)B (4.364)
Notiamo che dall’espressione per serie di una funzione di un operatore, f(A), segue
[f(A), A] = 0 (4.365)
. In definitiva vediamo che la soluzione dell’equazione differenziale
è data da
dA(λ)
dλ
= BA(λ) (4.366)
A(λ) = Ce λB
99
(4.367)