Meccanica Quantistica

Vediamo anche che al crescere di ℓ, cioè del momento angolare, la funzione d’onda è
sempre più schiacciata nell’origine, cioè la probabilità di trovare la particella nell’origine
è sempre più piccola. Questo corrisponde al fatto classico che al crescere del
momento angolare la particella sta più lontana dall’origine.
Consideriamo adesso l’andamento a r → ∞. Se il potenziale non va a zero all’infinito
diventa il termine dominante e quindi non possiamo dire niente in generale.
Supponiamo invece che rV (r) → 0 per r → ∞, allora il termine dominante è il
termine che contiene E:
La discussione è come nel caso unidimensionale
• E > 0. Si hanno soluzioni oscillanti.
2
h/ d
−
2µ
2yE,ℓ(r) dr2 = EyEℓ(r) (11.281)
• E < 0. Si deve scegliere la soluzione esponenzialmente decrescente che corrisponde
quindi a uno stato legato. Il motivo per cui anche in questo caso la
soluzione ha autovalori discreti dipende dal fatto che dovremo raccordare questa
soluzione con la soluzione regolare nell’origine e questo non è generalmente
possibile salvo per particolari valori dell’energia.
11.6.4 La particella libera in coordinate sferiche
Consideriamo la particella libera in coordinate sferiche. La funzione radiale ridotta
obbedisce l’equazione
Introducendo la quantità
2
h/ d
−
2µ
2yE,ℓ(r) dr2 e la variabile adimensionale
+ h/ 2 ℓ(ℓ + 1)
2µr2 yEℓ(r) = EyEℓ(r) (11.282)
k 2 = 2µE
h/ 2
si ha
− d2 ℓ(ℓ + 1)
+
dρ2 ρ2
yℓ = yℓ
(11.283)
ρ = kr (11.284)
(11.285)
dove yℓ ≡ yEℓ. Il problema è simile a quello dell’oscillatore armonico salvo che
abbiamo un potenziale 1/ρ 2 invece che ρ 2 . Definiamo quindi operatori analoghi agli
operatori di creazione e distruzione
dℓ = d ℓ + 1
+
dρ ρ
253
(11.286)