Meccanica Quantistica

Il valor medio dell’impulso in questo stato è dato da
〈P 〉 = 〈ψ(0)|x ′ 〉〈x ′ |P |ψ(0)〉dx ′
=
=
ψ ∗ (x ′
, 0) p0 + ih/ x′
∆2
ψ(x ′ , 0)dx ′ =
= p0 ψ ∗ (x ′ , 0)ψ(x ′ , 0)dx ′ = p0
Si vede subito che
ψ ∗ (x ′ , 0)
−ih/ ∂
∂x ′
ψ(x ′ , 0)dx ′ =
(6.31)
〈X〉 = 0 (6.32)
Dunque il pacchetto gaussiano è inizialmente localizzato nell’intorno di x = 0 e ha
un impulso medio pari a p0. L’evoluzione temporale di questo pacchetto si ottiene
dal propagatore per la particella libera (vedi equazione (6.23))
ψ(x, t) =
dx ′
m
2πh/it
1/2
e im(x − x′ ) 2 ′ x′2
ip0x −
2h/t e h/ e 2∆2 (π∆ 2 ) 1/4
(6.33)
L’espressione che appare nell’esponente sotto l’integrale può essere riscritta come
segue
i m
2h/t (x −x′ ) 2 ′ p0x
+i
h/ − x′ 2 m
= i
2∆2 2h/t x2 +i x′
p0 − m
h/
x
−
t
1
1
− im x
2 ∆2 h/t
′ 2
(6.34)
da cui
m
ψ(x, t) =
2πh/it
1/2
Usando la (6.22) si trova
1
(π∆2 m x2
2h/t
) 1/4ei
1/2
dx ′ e ix′
h/
ψ(x, t) =
m
2πh/it
1
(π∆2 ) 1/4
π∆2 1 − im∆2 /(h/t)
×
−
e
(p0 − mx/t) 2
h/ 2
1 2
4 1/∆2 − im/h/t
p0 − m x
−
t e
1
1
− im x
2 ∆2 h/t
′ 2
1/2
m
i
e 2h/t x2
×
(6.35)
(6.36)
Con opportune semplificazioni questa espressione si può riscrivere nella forma
1
π∆2 (1 + ih/t/(m∆ 2 )) 2
p0x − Ep0t
1/4 i
−
e h/
e
1
2 1
(x − p0t/m)
2 ∆2 (1 + ih/t/(m∆ 2 ))
(6.37)
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