Meccanica Quantistica

I nomi bra e ket originano dal fatto che mettendo assieme i due vettori si ottiene un
bracket, cioè una parentesi che associa alla coppia il prodotto interno 1 :
〈v||v ′ 〉 ≡ 〈v|v ′ 〉 (4.44)
La rappresentazione che associa il bra al vettore v è anche detta duale di quella che
ne associa il ket. Notiamo che in notazione matriciale la rappresentazione duale è
ottenuta tramite le operazioni di trasposizione del vettore colonna e di coniugazione
complessa. L’insieme di queste due operazioni costituisce l’ aggiunto. Questa
operazione in forma astratta fa passare dai ket ai bra e viceversa
Si richiede anche che
〈v| = |v〉 †
(4.45)
(|v〉 † ) † = |v〉 (4.46)
Nella base (4.39) i vettori base hanno la rappresentazione:
⎛ ⎞
0
⎜
⎜·
⎟
⎜
⎜·
⎟
⎜
⎜·
⎟
|ei〉 ≡ |i〉 ⇔ ⎜
⎜1
⎟ → iesimo posto (4.47)
⎜
⎜·
⎟
⎜
⎜·
⎟
⎝·
⎠
0
Ovviamente ogni ket si scrive in questa base come
|v〉 =
vi|i〉 (4.48)
mentre i bra
i
〈v| =
i
v ∗ i 〈i| (4.49)
Ogni equazione che vale per i ket può essere trasformata in una equazione per i bra,
semplicemente prendendo l’aggiunto. Per esempio, consideriamo l’aggiunto di α|v〉:
⎛ ⎞
v1
⎜ · ⎟
α|v〉 ⇔ α ⎜ · ⎟
⎝ · ⎠ =
⎛ ⎞
αv1
⎜ · ⎟
⎜ · ⎟
⎝ · ⎠ ⇒ α∗v∗ 1 · · · α∗v∗ ∗
n ⇔ α 〈v| (4.50)
vn
αvn
1 Da ora in avanti elimineremo la notazione in grassetto per i vettori all’interno dei bra e dei
ket, cioè |v〉 ≡ |v〉
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