Meccanica Quantistica

More documents

Recommendations

Info

5.4 Valori di aspettazione Abbiamo visto che una volta assegnate N particelle nello stato |ψ〉 (supponiamo normalizzato) è possibile prevedere quale frazione di esse da, come risultato della misura dell’osservabile Ω, l’autovalore ω. Per questo è necessario risolvere il problema agli autovalori per Ω da cui otterremo che la frazione desiderata sarà NP(ω) = N|〈ω|ψ〉| 2 (5.53) Se invece siamo interessati a conoscere il valor medio di Ω sull’insieme delle N particelle in esame, possiamo eludere il problema agli autovalori. Infatti si avrà, dalla definizione di valor medio: 〈Ω〉 = ωiP(ωi) = ωi|〈ωi|ψ〉| 2 = 〈ψ|ωi〉ωi〈ωi|ψ〉 = Dunque Osserviamo che: i i = 〈ψ|Ω|ωi〉〈ωi|ψ〉 = 〈ψ|Ω|ψ〉 (5.54) i i 〈Ω〉 = 〈ψ|Ω|ψ〉 (5.55) 1) - Per calcolare il valor medio di Ω nello stato ψ è sufficiente conoscere lo stato e l’operatore. 2) - Se la particella si trova in un autostato di Ω, |ω〉, allora 〈Ω〉 = ω (5.56) 3) - Quando parliamo di valore medio di una osservabile ci riferiamo sempre alla media fatta sull’insieme. Una singola particella può determinare un unico valore per la misura di Ω. Allorché si facciano considerazioni probabilistiche una quantità utile è la cosiddetta deviazione standard definita come ∆Ω = 〈(Ω − 〈Ω〉) 2 〉 1/2 La quantità ∆Ω è anche detta l’indeterminazione su Ω. Si ha ovvero ∆Ω = 〈ψ|(Ω − 〈Ω〉) 2 |ψ〉 1/2 = 〈ψ|(Ω 2 − 2Ω〈Ω〉 + 〈Ω〉 2 )|ψ〉 1/2 = = 〈ψ|Ω 2 |ψ〉 − 〈ψ|Ω|ψ〉 2 1/2 = 〈Ω 2 〉 − 〈Ω〉 2 1/2 ∆Ω = 〈Ω 2 〉 − 〈Ω〉 2 1/2 129 (5.57) (5.58) (5.59)
Esercizio: Dati i seguenti operatori su V 3 (C) Lx = 1 ⎛ ⎞ 0 1 0 √ ⎝1 0 1⎠, 2 0 1 0 Ly = 1 ⎛ 0 −i √ ⎝i 0 2 0 i ⎞ 0 −i⎠, 0 ⎛ ⎞ 1 0 0 Lz = ⎝0 0 0 ⎠ 0 0 −1 (5.60) 1) - Quali sono i possibili autovalori di Lz? Chiaramente ±1, 0 visto che Lz è diagonale. 2) - Nell’ autostato di Lz con autovalore +1, quanto valgono 〈Lx〉, 〈L2 x 〉 e∆Lx? Iniziamo calcolando l’autostato di Lz, con Lz = 1. Si ha da cui Quindi Pertanto Si ha poi Per cui e 〈L 2 x〉 = 1 2 ⎛ 1 0 ⎞⎛ 0 Lz|Lz = 1〉 ⇔ ⎝0 0 0 ⎠⎝ 0 0 −1 L 2 x x1 x2 x3 ⎞ ⎛ ⎠ = ⎝ x1 0 −x3 ⎞ ⎛ ⎠ = ⎝ x1 x2 x3 ⎞ ⎠ (5.61) x2 = x3 = 0 (5.62) ⎛ ⎞ 1 |Lz = 1〉 ⇔ ⎝0⎠ (5.63) 0 〈Lx〉 = 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 1 0 1 √ 1 0 0 ⎝1 0 1⎠ ⎝0⎠ = 0 (5.64) 2 0 1 0 0 ⇔ 1 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 1 0 0 1 0 ⎝1 0 1⎠ ⎝1 0 1⎠ = 0 1 0 0 1 0 1 ⎛ ⎞ 1 0 1 ⎝0 2 0⎠ (5.65) 2 1 0 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 1 1 1 0 0 ⎝0 2 0⎠ ⎝0⎠ = 1 0 1 0 1 ⎛ ⎞ 1 1 0 0 ⎝0⎠ = 2 1 1 2 ∆Lx = 〈L 2 x 〉 − 〈Lx〉 2 1/2 = 〈L 2 x 〉 1/2 = 1 √2 (5.66) (5.67) 3) - Quali sono gli autovalori e gli autovettori di Lx nella base Lz? Dato che nella 130
Page 1 and 2:
Meccanica Quantistica Prima Parte R
Page 3 and 4:
4.14 Generalizzazione al caso infin
Page 5 and 6:
Capitolo 1 Introduzione Queste disp
Page 7 and 8:
nostre sensazioni viene arricchito
Page 9 and 10:
2.1 Il corpo nero Lo studio dell’
Page 11 and 12:
iemettondone una quantità trascura
Page 13 and 14:
un risultato paradossale. Infatti s
Page 15 and 16:
Il valor medio dell’energia si ca
Page 17 and 18:
da cui per T → 0 2 hν cV ≈ 3N
Page 19 and 20:
fotoelettroni vengono emessi dalla
Page 21 and 22:
Inoltre l’energia e l’impulso d
Page 23 and 24:
Figura 2.9: Il dispositivo sperimen
Page 25 and 26:
una struttura uniforme ma deve esse
Page 27 and 28:
come valore approssimato del raggio
Page 29 and 30:
F G P A Figura 2.13: Il dispositivo
Page 31 and 32:
quindi l’energia cinetica è pari
Page 33 and 34:
Figura 2.15: La relazione di De Bro
Page 35 and 36:
Il 17 Gennaio 1926 Schrödinger pub
Page 37 and 38:
dV fosse data da dP = |ψ(x)| 2 dV
Page 39 and 40:
misurare px corrisponde ad un angol
Page 41 and 42:
L’impulso px avrà una indetermin
Page 43 and 44:
E y xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxx
Page 45 and 46:
L’energia associata ad un momento
Page 47 and 48:
Capitolo 3 L’esperimento di inter
Page 49 and 50:
Figura 3.3: Nella parte destra: cos
Page 51 and 52:
Figura 3.6: Confronto tra le frange
Page 53 and 54:
di vista di Feynamn sia il più usa
Page 55 and 56:
Assiomi per la moltiplicazione con
Page 57 and 58:
(0,1,1) y z (1,1,0) (1,0,1) Figura
Page 59 and 60:
Uno spazio vettoriale sul quale sia
Page 61 and 62:
4.3 La notazione di Dirac Dirac ha
Page 63 and 64:
Vediamo dunque che Inoltre si ha an
Page 65 and 66:
utilizzare il procedimento di Gram-
Page 67 and 68:
Un esempio un pò più complesso è
Page 69 and 70:
4.6 Elementi di matrice di un opera
Page 71 and 72:
Vediamo che n Pi = I (4.109) i=1 In
Page 73 and 74:
Questa decomposizione è analoga al
Page 75 and 76:
4.8 Il problema agli autovalori Com
Page 77 and 78:
D’altra parte, come mostreremo, n
Page 79 and 80:
Prendendo l’equazione aggiunta si
Page 81 and 82: 4.9.1 Il caso degenere Per capire c
Page 83 and 84: il ket corrispondente, avremo |ω =
Page 85 and 86: Se definiamo n vettori V (k) con co
Page 87 and 88: Notare che A non è né hermitiana
Page 89 and 90: da cui B|ai, α〉 ∈ V mi ai (4.2
Page 91 and 92: Da cui che ha soluzione 3v1 + v2 +
Page 93 and 94: da cui La condizione di normalizzaz
Page 95 and 96: a b x x 1 2 Figura 4.7: Il sistema
Page 97 and 98: Se adesso espandiamo il vettore |x(
Page 99 and 100: corrisponde a uno stato in cui le d
Page 101 and 102: Pertanto l’operatore e A risulta
Page 103 and 104: con C costante di integrazione. Evi
Page 105 and 106: Cioè questi vettori formano un sis
Page 107 and 108: Da questa segue Pertanto si dovrà
Page 109 and 110: f ε(x) ε Figura 4.11: Esempio di
Page 111 and 112: g(x-x') ' Δ x _ Δ 2 1/2 x x Figur
Page 113 and 114: Nello spazio infinito-dimensionale
Page 115 and 116: segue 〈x|K|x ′ 〉〈x ′ |k
Page 117 and 118: Pertanto 〈k|X|g〉 = i dg(k) (4.4
Page 119 and 120: Si ha |B| 2 L 2 L = |B| 2π 2 L =
Page 121 and 122: Pertanto se A è diagonalizzabile a
Page 123 and 124: misura il sistema viene proiettato
Page 125 and 126: v) - Se vogliamo informazioni relat
Page 127 and 128: In questo caso adotteremo la prescr
Page 129 and 130: misurando, lo stato del sistema rim
Page 131: 5.3 Come si verifica la teoria quan
Page 135 and 136: e inoltre P(Lx = 0) = |〈Lx = 0|ψ
Page 137 and 138: 5.5 Variabili compatibili e incompa
Page 139 and 140: spazio con Λ avente un autovalore
Page 141 and 142: e quindi ψ( x) a Figura 5.1: La fu
Page 143 and 144: Pertanto ψ(p) = 〈p|ψ〉 = 〈
Page 145 and 146: Pi|ψ〉 ⇔ 〈x1, · · · , xn|P
Page 147 and 148: Nel caso di una particella di caric
Page 149 and 150: soddisfa l’equazione di Schrödin
Page 151 and 152: In questo caso si ha base |p〉 bas
Page 153 and 154: e inoltre p = ± √ 2mE (6.7) Abbi
Page 155 and 156: Osserviamo anche che nella base del
Page 157 and 158: Se calcoliamo la densità di probab
Page 159 and 160: Consideriamo una particella confina
Page 161 and 162: In ogni caso 2 h/ n En = 2m 2π2 L2
Page 163 and 164: Possiamo dividere l’asse delle x
Page 165 and 166: Come sappiamo dobbiamo imporre la c
Page 167 and 168: dove ρ è la densità di carica, p
Page 169 and 170: 6.4 Un problema di diffusione: il g
Page 171 and 172: V V(x) xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx
Page 173 and 174: Pertanto le due soluzioni descrivon
Page 175 and 176: Assumiamo (sempre nel caso unidimen
Page 177 and 178: Ma a causa del principio di indeter
Page 179 and 180: mentre le osservabili diventano dip
Page 181 and 182: Pertanto nella base |˜x〉 gli ope
Page 183 and 184:
Una particella nell’intorno di x0
Page 185 and 186:
da cui La soluzione generale è ˙p
Page 187 and 188:
8.1 La soluzione dell’equazione d
Page 189 and 190:
Notiamo che con da cui bk+2 bk = e
Page 191 and 192:
Ci sono alcuni punti importanti da
Page 193 and 194:
Richiedendo che +x0 P(x)dx = 1 (8.
Page 195 and 196:
A questo fine si introducono due op
Page 197 and 198:
e scegliendo cn reale e Applicando
Page 199 and 200:
con A determinata dalla normalizzaz
Page 201 and 202:
Capitolo 9 Il principio di indeterm
Page 203 and 204:
vale a dire che integrata dà dψ(x
Page 205 and 206:
Capitolo 10 Sistemi con N gradi di
Page 207 and 208:
Vediamo dunque che per spazi vettor
Page 209 and 210:
I coefficienti dell’espansione di
Page 211 and 212:
Dividendo per ψE1(x1)ψE2(x2) si h
Page 213 and 214:
10.3 Più particelle in più dimens
Page 215 and 216:
sono identiche. D’altra parte, in
Page 217 and 218:
10.5 Spazi di Hilbert per bosoni e
Page 219 and 220:
Nel caso fermionico tutto procede a
Page 221 and 222:
In questo caso la distribuzione mis
Page 223 and 224:
Capitolo 11 Simmetrie Nel caso clas
Page 225 and 226:
L’azione di T(ǫ) su uno stato qu
Page 227 and 228:
dato che una traslazione di a + ǫ
Page 229 and 230:
Questo implica che se a t = 0 il si
Page 231 and 232:
ipetere lo stesso esperimento in un
Page 233 and 234:
Gli autovettori di Π con autovalor
Page 235 and 236:
si ha 2 Pertanto Pertanto da cui
Page 237 and 238:
Da cui Questa condizione è soddisf
Page 239 and 240:
L’equazione di Schrödinger stazi
Page 241 and 242:
11.6 Rotazioni in tre dimensioni Pr
Page 243 and 244:
Inoltre se il sistema è invariante
Page 245 and 246:
con analoga condizione di positivit
Page 247 and 248:
da cui |〈j, m ′ |J+|j, m〉| 2
Page 249 and 250:
Da queste ultime si ricavano le esp
Page 251 and 252:
da cui J k − e imφ f(θ) d k =
Page 253 and 254:
che ha la proprietà [r, Pr] = ih/
Page 255 and 256:
Come vedremo in un momento il secon
Page 257 and 258:
e il suo aggiunto d † d ℓ + 1
Page 259 and 260:
Ovviamente questo stesso problema i
Page 261 and 262:
con ET = ECM + E (12.8) Mentre la p
Page 263 and 264:
Da u ′ ℓ = ρu ′′ ℓ = ∞
Page 265 and 266:
e quindi a = 2Z n La variabile adim
Page 267 and 268:
I livelli energetici sono determina
Page 269 and 270:
L’approssimazione WKB consiste ne
Page 271 and 272:
problema di connettere le soluzioni
Page 273 and 274:
Se si considera un moto periodico,
Page 275 and 276:
Capitolo 14 Teoria delle perturbazi
Page 277 and 278:
Ponendo a zero i coefficienti di ug
Page 279 and 280:
e ricordando che si ha X = h/ 2mω
Page 281 and 282:
Pertanto Esf + E 1 = − Z2 e 2 a0
Page 283 and 284:
o β 0 〈n , α|H1|n 0 , β〉
Page 285 and 286:
Capitolo 15 Momento angolare intrin
Page 287 and 288:
Chiaramente si ha e σ 2 = 4 J 2 =
Page 289 and 290:
Dunque l’azione dell’operatore
Page 291 and 292:
e proiettando sulla base |x; j, m
Page 293 and 294:
Consideriamo adesso il caso di un c
Page 295 and 296:
In realtà l’espressione corretta
Page 297 and 298:
separatamente. Dunque l’autovalor
Page 299 and 300:
e applicare a entrambi i membri l
Page 301 and 302:
15.3 Operatori tensoriali Abbiamo g
Page 303 and 304:
15.3.1 Il teorema di Wigner-Eckart
show all

Meccanica Quantistica

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?