Meccanica Quantistica

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dove h/ = h/2π con h la costante di Planck e H un operatore hermitiano. Risolvere questa equazione significa trovare il vettore al tempo t dato quello a t = 0. Questo problema si risolve esattamente come il problema meccanico che abbiamo risolto in questa sezione. Si tratta cioè di risolvere il problema agli autovalori per H e determinare il propagatore U(t). A questo punto si ha 4.12 Funzioni di operatori |ψ(t)〉 = U(t)|ψ(0)〉 (4.347) In questa Sezione vogliamo estendere il concetto di funzione definita sui reali o sui complessi a funzioni di operatori. La maniera più semplice per definire una tale funzione è quella di considerare delle funzioni che ammettano uno sviluppo in serie di potenze ∞ f(x) = cnx n (4.348) n=0 con x reale o complesso. Definiamo allora una funzione di un operatore A come ∞ f(A) = cnA n (4.349) n=0 Ovviamente la definizione ha senso se la serie originale è definita (ha un raggio di convergenza non nullo), Consideriamo a titolo di esempio e A ∞ 1 = n! An (4.350) n=0 con A † = A, In questo caso l’operatore A può essere diagonalizzato e se consideriamo il suo rappresentativo matriciale si ha ⎛ ⎞ da cui ⎛ e A ⎜ ⇔ ⎜ ⎝ ∞ m=0 1 m! ωm 1 · ⎜ A ⇔ ⎜ ⎝ · · ∞ m=0 ω1 · · 1 m! ωm n 97 ⎞ · ωn ⎟ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎟ ⎠ ⎟ ⎠ e ω1 · · · e ωn ⎞ ⎟ ⎠ (4.351) (4.352)
Pertanto l’operatore e A risulta perfettamente definito. Analogamente consideriamo e definiamo f(x) = ∞ n=0 f(A) = x n = 1 , |x| < 1 (4.353) 1 − x ∞ A n ≡ (I − A) −1 n=0 con A hermitiano. Andiamo ancora in una base in cui A è diagonale. Segue ⎛ (I − A) −1 ⎜ ⇔ ⎜ ⎝ ∞ m=0 ω m 1 · · · ∞ m=0 ω m n ⎞ ⎛ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 − ω1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ · · · 1 1 − ωn ⎞ ⎟ ⎠ (4.354) (4.355) Da queste considerazioni segue subito che se A è un operatore hermitiano allora è un operatore unitario. Infatti e ⎛ ⎜ A ⇔ ⎜ ⎝ U = e iA ω1 ⎛ U = e iA ⎜ ⇔ ⎜ ⎝ · e iω1 che è chiaramente un operatore unitario. Inoltre i det|U| = e n i=1 98 · · ωi · · ωn · ⎞ ⎟ ⎠ e iωn = e iTrA ⎞ ⎟ ⎠ (4.356) (4.357) (4.358) (4.359)
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Meccanica Quantistica Prima Parte R
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4.14 Generalizzazione al caso infin
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Capitolo 1 Introduzione Queste disp
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nostre sensazioni viene arricchito
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2.1 Il corpo nero Lo studio dell’
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iemettondone una quantità trascura
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un risultato paradossale. Infatti s
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Il valor medio dell’energia si ca
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da cui per T → 0 2 hν cV ≈ 3N
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fotoelettroni vengono emessi dalla
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Inoltre l’energia e l’impulso d
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Figura 2.9: Il dispositivo sperimen
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una struttura uniforme ma deve esse
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come valore approssimato del raggio
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F G P A Figura 2.13: Il dispositivo
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quindi l’energia cinetica è pari
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Figura 2.15: La relazione di De Bro
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Il 17 Gennaio 1926 Schrödinger pub
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dV fosse data da dP = |ψ(x)| 2 dV
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misurare px corrisponde ad un angol
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L’impulso px avrà una indetermin
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E y xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxx
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L’energia associata ad un momento
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Capitolo 3 L’esperimento di inter
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In questo caso si ha base |p〉 bas
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e inoltre p = ± √ 2mE (6.7) Abbi
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Osserviamo anche che nella base del
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Se calcoliamo la densità di probab
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Consideriamo una particella confina
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In ogni caso 2 h/ n En = 2m 2π2 L2
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Possiamo dividere l’asse delle x
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Come sappiamo dobbiamo imporre la c
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dove ρ è la densità di carica, p
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6.4 Un problema di diffusione: il g
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V V(x) xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx
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Pertanto le due soluzioni descrivon
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Assumiamo (sempre nel caso unidimen
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Ma a causa del principio di indeter
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mentre le osservabili diventano dip
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Pertanto nella base |˜x〉 gli ope
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Una particella nell’intorno di x0
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da cui La soluzione generale è ˙p
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8.1 La soluzione dell’equazione d
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Notiamo che con da cui bk+2 bk = e
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Ci sono alcuni punti importanti da
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Richiedendo che +x0 P(x)dx = 1 (8.
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A questo fine si introducono due op
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e scegliendo cn reale e Applicando
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con A determinata dalla normalizzaz
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Capitolo 9 Il principio di indeterm
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vale a dire che integrata dà dψ(x
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Capitolo 10 Sistemi con N gradi di
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Vediamo dunque che per spazi vettor
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I coefficienti dell’espansione di
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Dividendo per ψE1(x1)ψE2(x2) si h
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10.3 Più particelle in più dimens
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sono identiche. D’altra parte, in
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10.5 Spazi di Hilbert per bosoni e
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Nel caso fermionico tutto procede a
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In questo caso la distribuzione mis
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Capitolo 11 Simmetrie Nel caso clas
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L’azione di T(ǫ) su uno stato qu
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dato che una traslazione di a + ǫ
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Questo implica che se a t = 0 il si
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ipetere lo stesso esperimento in un
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Gli autovettori di Π con autovalor
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si ha 2 Pertanto Pertanto da cui
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Da cui Questa condizione è soddisf
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L’equazione di Schrödinger stazi
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11.6 Rotazioni in tre dimensioni Pr
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Inoltre se il sistema è invariante
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con analoga condizione di positivit
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da cui |〈j, m ′ |J+|j, m〉| 2
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Da queste ultime si ricavano le esp
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da cui J k − e imφ f(θ) d k =
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che ha la proprietà [r, Pr] = ih/
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Come vedremo in un momento il secon
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e il suo aggiunto d † d ℓ + 1
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Ovviamente questo stesso problema i
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con ET = ECM + E (12.8) Mentre la p
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Da u ′ ℓ = ρu ′′ ℓ = ∞
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e quindi a = 2Z n La variabile adim
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I livelli energetici sono determina
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L’approssimazione WKB consiste ne
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problema di connettere le soluzioni
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Se si considera un moto periodico,
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Capitolo 14 Teoria delle perturbazi
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Ponendo a zero i coefficienti di ug
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e ricordando che si ha X = h/ 2mω
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Pertanto Esf + E 1 = − Z2 e 2 a0
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o β 0 〈n , α|H1|n 0 , β〉
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Capitolo 15 Momento angolare intrin
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Chiaramente si ha e σ 2 = 4 J 2 =
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Dunque l’azione dell’operatore
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e proiettando sulla base |x; j, m
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Consideriamo adesso il caso di un c
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In realtà l’espressione corretta
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separatamente. Dunque l’autovalor
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e applicare a entrambi i membri l
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15.3 Operatori tensoriali Abbiamo g
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15.3.1 Il teorema di Wigner-Eckart
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