Meccanica Quantistica

un risultato paradossale. Infatti se calcoliamo la costante di Stefan-Boltzmann con
l’equazione (2.8) si trova
σ = c
∞
x
4
38πk
c3
1
dx =
x
2πk
c2 ∞
x 2 dx = ∞ (2.18)
0
Questa è la famosa catastrofe dell’ultravioletto, come fu chiamata da Ehrenfest.
Sperimentalmente era stata dedotta, nel caso di alte frequenze, la seguente
formula empirica (Wien)
ρν = Bν 3
exp − bν
T
0
(2.19)
che è in accordo con la legge di Wien. Nel 1900 Planck, cercando una formula che
interpolasse tra i due tipi di comportamento, Wien e Rayleigh-Jeans, fu portato a
postulare l’espressione
ρν = 8πh
c 3
exp
ν 3
hν
kT
− 1
con h (costante di Planck), determinata sperimentalmente, data da
(2.20)
h = 6.626 × 10 −34 Js (2.21)
La costante h ha le dimensioni di un’azione (energia× tempo). Si ha
e
lim
ν→0 ρν = 8πh
c3 ν3 hν
kT
lim
ν→∞ ρν = 8πh
= 8πkT
ν2
c3 (2.22)
c3 ν3 exp(− hν
) (2.23)
kT
Vediamo adesso come la densità di energia possa essere ottenuta dal trattamento
statistico della radiazione. Poiché ρν non dipende dal tipo di pareti della cavità,
possiamo pensare che la radiazione sia prodotta nel modo più semplice possibile,
cioè da un sistema di oscillatori armonici. L’energia della radiazione sarà allora data
dall’energia media degli oscillatori con frequenza nell’intervallo (ν, ν +dν) per unità
di volume. Il numero di oscillatori può essere contato dal numero di modi normali di
un’onda stazionaria nella cavità. In altri termini richiediamo che ogni modo normale
dell’onda corrisponda ad un oscillatore con la stessa frequenza. Considerando una
cavità cubica di lato L e richiedendo condizioni di periodicità sulle pareti, dato che
ogni modo normale è descritto da un’onda piana di tipo exp(ik · x), segue che il
vettore di propagazione deve essere della forma
kiL = 2πni, ni = 1, 2, 3, · · · (2.24)
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