Meccanica Quantistica

una struttura uniforme ma deve essere piuttosto composto di grani molto massicci
(come si capisce intuitivamente). Si affermò così il
- Modello di Rutherford in cui l’atomo è strutturato come un nucleo centrale positivo
(contenente in pratica tutta la massa), con gli elettroni orbitanti attorno al
nucleo come i pianeti di un sistema solare.
Il modello di Rutherford presenta due grossi problemi per la fisica classica:
a) il problema già accennato della stabilità
b) la radiazione viene emessa dall’atomo in modo continuo e non con uno spettro di
righe come l’osservazione sperimentale richiede.
Questi due problemi sono correlati e cercheremo ora di darne una spiegazione quantitativa.
Una carica accelerata (consideriamo un elettrone) perde un’energia per
unità di tempo data dalla seguente formula (vedi un testo di elettromagnetismo)
dE
dt
e
= −2
3
2a2 4πc3 (2.75)
dove e = 1.602 ×10 −19 C è la carica elettrica dell’elettrone cambiata di segno, a è la
sua accelerazione e c = 2.998×10 8 ms −1 è la velocità della luce. Per effettuare questo
calcolo conviene esprimere sia E che a come funzioni della distanza dell’elettrone
dal nucleo. Se consideriamo l’atomo di idrogeno (costituito da un protone di carica
e e da un elettrone di carica −e), l’energia totale dovuta all’attrazione coulombiana
è
E = 1
2 mv2 − e2
4πr
(2.76)
dove m è la massa dell’elettrone (stiamo considerando qui un protone con massa
molto maggiore di m, infatti mp ≈ 2000 m). Se ci limitiamo a considerare
orbite circolari, la condizione di equilibrio tra forza elettrostatica e forza centrifuga
è
m v2 e2
=
r 4πr2 (2.77)
da cui
v 2 = e2
4πmr
(2.78)
Sostituendo nella equazione (2.76) si trova
Inoltre l’accelerazione risulterà
e 2
E = − 1
2 4πr
a = v2
r
= e2
4πmr 2
(2.79)
(2.80)
Sostituendo la (2.79) al primo membro della (2.75) ed usando la (2.80) per l’accelerazione
al secondo membro si trova
dE 1 e
=
dt 2
2
4πr2 dr e
= −2
dt 3
2
4πc3 2 e
4πmr2 2 (2.81)
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