Meccanica Quantistica

5.5 Variabili compatibili e incompatibili
Come abbiamo visto nelle sezioni precedenti, per una particella in uno dato stato
|ψ〉 una variabile dinamica non ha un valore definito a meno che lo stato non
sia autostato dell’osservabile. Un tale stato è ottenuto semplicemente misurando
l’osservabile. L’atto della misura fa collassare lo stato |ψ〉 nell’autostato |ω〉 con
probabilità |〈ω|ψ〉| 2 . In questa sezione estenderemo queste considerazioni al caso di
più osservabili. In particolare ci porremo i seguenti problemi:
1) - È possibile definire un sistema di filtraggio in modo da produrre uno stato
con valori definiti per due osservabili Ω e Λ?
2) - Qual’è la probabilità per ottenere un tale stato?
Per il primo punto possiamo pensare di partire con uno stato |ψ〉 e misurare Ω.
A questo punto il sistema si troverà nell’autostato |ω〉. Se dopo questa misura
misuriamo immediatamente Λ trovando l’autovalore λ avremo:
|ψ〉 =⇒
Ω |ω〉 =⇒
Λ |λ〉 (5.93)
D’altra parte in generale |ω〉 non è un autostato di Λ né |λ〉 è un autostato di Ω, per
cui né dopo la prima misura né dopo la seconda avremo un autostato di entrambe
le osservabili. Chiaramente lo stato prodotto dalla prima misura non deve essere
modificato dalla seconda, cioè |ω〉 deve essere autostato di Λ. Per dare risposta
positiva al primo problema occorre dunque filtrare un autostato simultaneo delle
due osservabili
Ω|ω, λ〉 = ω|ω, λ〉, Λ|ω, λ〉 = λ|ω, λ〉 (5.94)
Queste due relazioni implicano
[Ω, Λ]|ω, λ〉 = 0 (5.95)
Vediamo che il commutatore [Ω, Λ] deve avere almeno un autovettore con autovalore
nullo. A questo proposito si possono avere tre possibilità distinte:
A) - Gli operatori Ω e Λ sono compatibili, cioè [Ω, Λ] = 0.
B) - Gli operatori sono incompatibili, cioè il commutatore è un operatore con nessun
autovalore nullo.
C) - Altri casi.
Consideriamo adesso i vari casi:
A) - Se Ω e Λ sono operatori hermitiani e compatibili esiste una base completa
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