Meccanica Quantistica

Chiaramente si ha
e
σ 2 = 4 J 2 = 4 · 1 3
· = 3 (15.12)
2 2
σ 2 z = 1 (15.13)
Dato che σx e σy si possono ottenere da σz tramite una rotazione è chiaro che si ha
σ 2 x = σ2 y = σ2 z
Dalle regole di commutazione del momento angolare si trova
[σi, σj] = 2i
k
= 1 (15.14)
ǫijkσk
Si ha anche che le matrici σi anticommutano tra loro, cioè
per esempio,
Pertanto
(15.15)
[σi, σj]+ = 0, i = j (15.16)
[σx, σy]+ = σxσy + σyσx = 1
2i (σx[σz, σx] + [σz, σx]σx) =
= 1
2i (σxσzσx − σz + σz − σxσzσx) = 0 (15.17)
[σi, σj]+ = 2δij
(15.18)
Usando il risultato per il commutatore e quello per l’anticommutatore si vede subito
che
σiσj = δij + i
(15.19)
k
ǫijkσk
Dunque la funzione d’onda per lo spin 1/2 è una funzione con due componenti
ψ(r, 1/2) ψ+(r)
ψ1/2(r) =
≡
(15.20)
ψ(r, −1/2) ψ−(r)
la ψ1/2(r) viene chiamata spinore. Le due componenti con + e − vengono dette
con spin up e spin down rispettivamente. Per un vettore di stato normalizzato le
probabilità per spin up e spin down sono rispettivamente
P(+) = d 3 r |ψ+(r)| 2
, P(−) = d 3 r |ψ−(r)| 2
(15.21)
spin 1: Si ha
⎛
1 0
⎞
0
Jz = ⎝0
0 0 ⎠ (15.22)
0 0 −1
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